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《第4章 微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章Matlab在常微分方程中的应用在通常求解的常微分方程（组）中，只有极少数的几种情形可以得到精确的解析解，而大部分方程（组）是做不到的。在实际应用中，往往要求得到的不是精确的解析解，而是满足一定精度要求的数值解。这时应用计算机的数值计算功能，求出满足一定精度要求的解，就显得相当重要。下面先讨论如何求解常微分方程的解析解。4.1常微分方程（组）的符号解对于常微分方程（组），有时要包含初始条件（定解条件）。在Matlab中，解常微分方程（组）的命令为dsolve。常用形式如下：［y1,y2,…］=dsolve(‘eq1’,‘eq2’,…,‘var1’,‘va
2、r2’,…,‘inition’,‘disp_var1’,‘disp_var2’,…)参数说明：·‘eq1’,‘eq2’,…：包含微分方程（组）在内的字符串，可以是函数名或是微分方程（组）的表达式；每个‘eqn_i’可以包含一个或多个微分方程。如： ‘Df=f+g+h,Dg=-f+g+2*h,Dh=2*f-3*h’其中微分方程的表达式为：当y是因变量（未知函数）时，Dy表示或者或者； Dny表示或者或者。·‘var1’,‘var2’,…：指在方程组中独立的变量（因为方程组中有多个符号，要指定某个符号为未知变量符号）；若不指定，则缺省地用x或者t作为自变量
3、（实际上是用命令symvar来指定的）。·‘inition’：包含微分方程（组）的初始条件，或者是初始条件的表达式。其中初始条件表示如下：‘y(a)=b’表示，’D3y(c)=d’表示当初始条件少于方程的阶数时，会出现常数c1,c2,…例4-1求解（通解）（1）（2）（3）（4）解：46eq_1='D2y+3*Dy+2*y=0';eq_2='D2y+y=0';eq_3='2*Dy+3*y=exp(-2*x/3)';eq_41='Dx=y+x';eq_42='Dy=y-x+1';y1=dsolve(eq_1,'x')y2=dsolve(eq_2,'y(0)=0,
4、Dy(pi)=-1','x')y3=dsolve(eq_3,'x')[x,y]=dsolve(eq_41,eq_42,'x(0)=0,y(0)=0')运行结果为：y1=C1*exp(-2*x)+C2*exp(-x)y2=sin(x)y3=3/5*exp(-2/3*x)+exp(-3/2*x)*C1x=1/2+exp(t)*(-1/2*cos(t)+1/2*sin(t))y=-1/2+exp(t)*(1/2*sin(t)+1/2*cos(t))4.2常微分方程（组）的数值解对于常微分方程（组），Matlab在给定的时间段[t_start,t_end]内，在所给的
5、初始条件下，通过数值计算求每个程序步骤的解，并时刻检验该解是否满足给定的误差范围，如果满足，则返回该结果，否则再试一次，直到找到满足精度要求的解为止。常用的命令格式：·[t,y]=odeXX(‘F’,tspan,y0)·[t,y]=odeXXX(‘F’,tspan,y0,options)·[t,y]=odeXXX(‘F’,tspan,y0,options,p1,p2,…)参数说明：·odeXX：其中XX可为45或者23。两个命令的调用格式完全相同，均采用Runge-Kutta法。ode45采用的是中阶算法，用于解决一般问题，应用最广；ode23采用的是低阶算法
6、，在误差较大的情况下，效率比ode45高。·odeXXX：其中XXX可为113，15s，23s。其中ode113采用的是Adam-Bashforth-Moulton算法中的变阶解法，用于解决一般问题，在误差要求较小时，可考虑使用；ode15s采用的是数值差分算法，用于解决复杂问题，当其它命令无法解决时，可考虑使用；ode23s采用的是修正的Rosebrock的二阶算法，用于解决复杂问题，在误差要求较低时，可考虑使用；·‘F’：F是包含待解的常微分方程的函数名。该命令是对一阶常微分方程（组）设计的。函数文件F是定义F(t,y)的函数文件名，而且必须以dy/dt为
7、输出参量，以t,y为输入参量（注意：次序不可颠倒：自变量t在前，未知函数y在后！）。即函数格式如下：functiony_name=fun_name(t,y)y_name=[expression_1,expression_2,…]因此，假如待解的是高阶（2阶以上）微分方程，则必须引进一些中间变量，把高阶常微分方程转化成等价的一阶微分方程组，当然这时，F是变量（包括中间变量）的一阶导数向量（形式同上：以dyi/dt为输出参量）；·tspan：自变量t的积分范围，tspan=[t_start,t_end]；·y0：方程的初始状态值（若是高阶微分方程，则为向量，按因变
8、量的次序排列）。如：y0=[1;2;3
