第8章 常微分方程

《第8章 常微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第8章常微分方程8.1基本概念一、问题的引出1.求曲线方程的问题例1已知曲线上每一点P(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，且该曲线经过点(3,10)，求曲线的方程。解：设曲线方程为y＝f(x)初始条件为y

2、x=3＝10代入初始条件得10＝9＋C，C＝12.确定运动规律问题例2列车在以20米/秒的速度行驶时制动，制动后的加速度为－0.4米/秒2，求列车制动后的运动规律。解：设列车的运动规律为s＝s(t),则加速度是s的二阶导数，∵t＝0时，v＝s’(0)＝20,∴s’(t)＝－0.4t＋20∵t＝0时，s(0)＝0,∴s(t)

3、＝－0.2t2＋20t二、关于微分方程的基本概念含有未知函数的导数的方程称为微分方程。如果导数是一元函数的导数，则称为常微分方程，如果导数是多元函数的导数，则称为偏微分方程。微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。8微分方程的次数：微分方程中所含有的各项中未知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。一次微分方程称为线性微分方程。线性微分方程的左边是关于y及其各阶导数的有理整式，右边是关于x的函数。由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原函数称为微分方程的解。含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有任意常数的微分方程的解

4、称为特解。为求特解所给定的条件称为初始条件。8.2一阶微分方程[一阶微分方程的解法]形如y’＝f(x)的一阶微分方程总可用两边积分的方法直接求出微分方程的解。一、变量可分离的微分方程形如y’＝f(x)·g(y)或f1(x)g1(y)dx＋f2(x)g2(y)dy＝0的方程称为变量可分离的微分方程。对于变量可分离的微分方程，把y'写成的形式，微分方程一定可化为g(y)dy＝f(x)dx，两边积分可求得通解为G(y)＝F(x)＋C例如：解微分方程y'＝y2+xy2例1：求微分方程y'＝2xy的通解8注意：在解微分方程时的结果通常不用再写成

5、ln

6、y

7、,而直接写作lny，此时的积分常数通常也不写成Ｃ，而写作lnC。例２：求微分方程y'cosx＝y满足初始条件的特解两边积分得lny＝ln(secx＋tanx)＋lnC＝lnC(secx＋tanx)y＝C(secx＋tanx)(C为任意常数)以初始条件x＝0，y＝代入，得C＝则y＝(secx＋tanx)二、齐次型微分方程形如的微分方程称为齐次型微分方程。令，则y＝ux，y’＝u＋xu’，原微分方程变形为u＋xu’＝f(u)这是一个以u为变量的变量可分离的微分方程，两边积分后即可求出通解：F(u)＝lnx＋C，即。例3：求微分方

8、程的通解例4：求微分方程y2+(x2-xy)y’=0的满足初始条件y

9、x=1＝－1的特解8把x＝1,y＝－1代入，得e-1＝－C，C＝－e-1三、一阶线性微分方程形如y’＋p(x)y＝q(x)的方程称为一阶线性微分方程，它的等式左边是关于y、y’的一次式，右边的q(x)称为自由项。当q(x)=0时，微分方程称为一阶线性齐次微分方程，否则，称为一阶线性非齐次微分方程。1.一阶线性齐次微分方程y’＋p(x)y＝0是变量可分离的微分方程，它可化为，解得lny＝－∫p(x)dx＋C，通解为例如y’－3xy＝0可化为2.一阶线性非齐次微分方程y

10、’＋p(x)y＝q(x)解法是这样思考的。把y’＋p(x)y＝q(x)的两边同乘以e∫p(x)dx得e∫p(x)dx·y’＋p(x)e∫p(x)dx·y＝q(x)e∫p(x)dx等式的左边恰好是(e∫p(x)dx·y)’，两边积分得e∫p(x)dx·y＝∫q(x)e∫p(x)dxdx＋Ｃ例５：求微分方程的通解8例６：求微分方程y’cos2x＋y－tanx＝0的通解解：将原方程变形为[小结]一阶线性非齐次微分方程的解题步骤可以归结为下列4步1.将含有y’的项化为单独一个y’2.将含有y的项中与y相乘的x的函数式积分，求出它的一个原函数F

11、(x)3.方程两边同乘以eF(x)，则等号左边为(eF(x)y)’4.方程两边同时积分8.5可降阶的二阶微分方程一、y”＝f(x)型的微分方程解此类型的微分方程，只要把方程两边两次积分即可。例１求微分方程y”＝xcosx的通解解：y’＝∫xcosxdx＝xsinx－∫sinxdx＝xsinx＋cosx＋C1y＝∫(xsinx＋cosx＋C1)dx＝∫xsinxdx＋∫cosxdx＋∫Ｃ1dx＝－xcosx＋2sinx＋C1x＋C28二、y”＝f(x,y’)型的微分方程因为方程中不含有y，可令y’＝p，则y”＝p’，方程降阶为p的一阶微

12、分方程。例２求微分方程y”―y’―x＝0的通解解：令y’＝p,则y”＝p’，方程降阶为p’－p＝x三、y”＝f(y,y’)型的微分方程因为方程中不含有x，，方程可看作为以y为自变量，未知函数p＝p(y)的一阶微分方程。例