第6章+常微分方程

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1、第6章常微分方程185第六章常微分方程为了深入研究几何、物理、经济等许多实际问题，常常需要寻求问题中有关变量之间的函数关系．而这种函数关系往往不能直接得到，而只能根据实际问题的意义及已知的公式或定律，建立起含有自变量、未知函数及其导数（或微分）的关系式，这就是所谓的微分方程．通过求解微分方程，可以得到所需求的函数．本章主要介绍微分方程的基本概念、几种常见类型的微分方程的解法及微分方程的简单应用．第一节常微分方程的基本概念一、实例分析引例6.1【曲线方程】设某一平面曲线上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的倍，且曲线通过点，求该曲线方程．引例6.2【火车制动

2、】一列车在直线轨道上以的速度行驶，制动时列车获得加速度，问开始制动后经过多长时间才能把列车刹住？从制动到列车停住这段时间内列车行驶了多少路程？二、微分方程的基本概念上述两个引例中，关系式（6-1）和（6-5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程．下面介绍微分方程的一些基本概念．1．微分方程解的概念凡含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程．若未知函数只含有一个自变量，这样的微分方程称为常微分方程；若未知函数是多元函数，导数是指偏导数，这样的方程称为偏微分方程．微分方程中所含未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶数．本书我们只讨论常微分方程，以下

3、简称为微分方程．例如，方程，和都是一阶微分方程．方程和．都是二阶微分方程．由引例6.1和引例6.第6章常微分方程1852可知，在研究实际问题时，首先建立微分方程，然后设法找出满足微分方程的函数，也就是说，要找到这样的函数，将其代入微分方程后，能使该方程成为恒等式，这个函数叫做微分方程的解．求微分方程解的过程，叫做解微分方程．例如，函数（6-3）和（6-4）都是微分方程（6-1）的解；函数（6-8）和（6-10）都是微分方程（6-5）的解．如果微分方程的解中包含有任意常数，并且独立的（即不可合并而使个数减少）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微

4、分方程的通解．通解中任意常数取某一特定值时的解，称为微分方程的特解．例如函数（6-3）和（6-8）分别是微分方程（6-1）和（6-5）的通解，函数（6-4）和（6-10）分别是微分方程（6-1）和（6-5）的特解．从上面两引例看到，通解中的任意常数一旦由某种附加条件确定后，就得到微分方程的特解，这种用以确定通解中任意常数的附加条件叫微分方程的初值条件．引例6.1的初值条件是，引例6.2的初值条件是，．通常情况下，一阶微分方程的初值条件是，当自变量取定某个特定值时，给出未知函数的值；二阶微分方程的初值条件是；阶微分方程的初值条件是，当自变量取定某个特定值时，

5、给出未知函数以及直至阶导数的值，即，…，．例1验证函数是微分方程的通解，并求满足初值条件的特解．2．微分方程解的几何意义微分方程的每一个特解在几何上表示一条平面曲线，称为微分方程的积分曲线．而微分方程的通解中含有任意常数，所以它在几何上表示一族曲线，称为积分曲线族．例如，引例6.1中的特解（6-4）式的几何意义是过点的那一条积分曲线，而通解（6-3）式的几何意义是以为参数的积分曲线族（图6－1）．图6－1例2解微分方程，其中．第6章常微分方程185案例6.1【等轴双曲线】已知一曲线过点，且曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分恰为切点所平分，求此曲线方程．

6、案例6.2【自由落体运动】一质量为的物体受重力作用而下落，假设初始位置和初始速度都为0，试确定该物体下落的距离与时间的函数关系．第6章常微分方程185第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程引例6.3求微分方程的通解．通过这个例子我们可以看到，在一个一阶微分方程中，如果能把两个变量分离，使方程的一端只包含其中一个变量及其微分，另一端只包含另一个变量及其微分，这时就可以通过两边积分的方法来求它的通解，这种求解的方法称为分离变量法，变量能分离的微分方程叫做可分离变量的微分方程．变量可分离的微分方程的一般形式为．求解步骤为：（1）分离变量，得，（2）两

7、边积分，得，（3）求出积分，得通解．其中、分别是和的一个原函数．例1求微分方程的通解．例2求微分方程满足初值条件的特解．例3求微分方程满足初值条件的特解．例4求微分方程的通解．案例6.3【铀的衰变】放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知时铀的含量为，求在衰变过程中铀含量第6章常微分方程185随时间变化的规律．案例6.4【降落伞降落】设降落伞从跳伞塔降落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（）速度为零，求降落伞下落速度与

8、时间的函数关系．案例6.5【销售预测】在商品销售预测中，时刻的销售