二维自治微分方程组的周期解和极限环课件.ppt

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1、5.6.1概念及定理5.6.2例题§5.6二维自治微分方程组的周期解和极限环设是系统的一个极限环,如果存在着的一个邻域，使从此邻域内出发的其他解均正向趋近于，则称为稳定的极限环。如果其他解均负向于趋近于，则称为不稳定的极限环。如果从的邻域出发的其他轨线在的一侧正向趋近于，另一侧负向趋近于，则称此为半稳定的极限环。定理5.11Poincare-Bendixson环域定理设区域是由两条简单闭曲线围成的环形域并且满足下面条件:(1)及其边界上不含奇点;(2)从G的边界上各点出发的轨线都不能离开(或进入);(3

2、)均不是闭曲线.周围在内至少存在一个外稳定闭轨和一个内稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨)，如果是惟一的闭轨,周围一定是一条稳定的(不稳定的)极限环。定理5.12时的VanderPol方程其等价方程组至少有一个极限环。定理5.13设系统的右端函数，在某个单连域内连续可微,并且在内不变号,且在的任何子域内不恒为零，则方程组在内不存在任何闭轨线。定理5.14对于方程组若在某个单连域内存在一个连续可微函数使得不变号。且在的任何子域中不恒为零，则方程组不存在全部位于内的闭轨线。定理5.15如果沿着系

3、统的极限环有则是稳定(不稳定)的.其中是的周期。定理5.16给定微分方程(5.6.18)其等价方程组为：其中如果(1)在连续;(2);(3)在内分别单调不减，则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它必定为稳定的。5.6.2例题例5.6.1证明平面二次系统(5.6.17)当时无闭轨线。证明由系统的第一个方程得到故轨线与直线相交时候只能从它的一侧向向另一侧,因此系统若有闭轨线.它只能位于直线的一侧,在这一侧取Dulac函数容易算出当时它是常号且当仅且当时为零，当不是系统的轨线。所以由定理5.14知道:系统(

4、5.6.17)当时不存在闭轨。例5.6.2用定理5.15的结论判定非线性方程组引入极坐标则产生的极限环及的稳定性。解又可以算出对有故由定理5.15知是不稳定的。对有故由定理5.15知是稳定的。