常微分方程组的数值解

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1、在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程的求解困难就更不用说了。大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等;另一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近第八章常微分方程数值解法§1、引言似值。其中x是质量，m是离开平衡位o的距离，t为时间，c为弹簧系数。例如：弹

2、簧一质量系统的振动问题经一定的简化后可用一个二阶常微分方程来描述。在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。mxxoc我们现在讨论常微分方程的数值解法。先从最简单的一阶常微分方程的初值问题出发开始讨论。由常微分方程理论可知：只要上式中的函数f(x,y)在区域G={a≤x≤b,－∞＜y＜∞}内连

3、续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L，使至于初值问题（1）的数值解法，常采用差分方法，即把一个连续的初值问题离散化为一个差分方程来求解。具体地，将（1）离散化后，求找其解y=y(x)在一系列离散点下面分析均假定满足上述条件。对于初值问题（1），先将其离散化，即把[a,b]区间n等分，得各离散节点一、Euler公式§2Euler方法因为初值问题中的初始条件已知，即可利用已知的来求出下一节点处的近似值；再从来求如此继续，直到求出为止。这种用按节点的排列顺序一步一步地向前推进

4、的方式求解的差分算法称为“步进式”或“递推式”算法，它是初值问题数值解法的各种差分格式的共同特点。因此，只要能写出由前几步已知信息来计算的递推公式（即差分格式），即可完全表达这种算法。若将和的近似值分别记为和，则得：（3）这就是Euler公式（格式）。利用它可由初值出发逐步算出。这类形式的方法也称为差分方法。定义：如果局部截断误差为，则这种数值算法的精度为p阶，故Euler格式的精度为一阶。从几何意义上来看，如图，当假定为准确值，即在的前提下来估计误差，这种截断误差称为局部截断误差。由（2）、（3）

5、知Euler公式在处的局部截断误差为：由方程（1）知，其积分曲线y=f(x)上任一点(x,y)的切线斜率都等于函数f(x,y)的值。从初始点（即点）出发，作积分曲线y=y(x)在点上的切线（其斜率为）与直线相交与点（即点），得到作为的近似值，则有yOxy=f(x)相比较知，这时用切线近似代替了曲线段点近似代替了点，近似代替了近似代替了。递推继续从点出发，作一斜率为的直线与直线相交于点（即点），得到作为的近似值。…如此直到点。这样得出一条折线近似代替积分曲线，当步数越多时，由于误差的积累，折线可能会越

6、解：为便于进行比较，我们后面将用多种数值方法求解上述初值问题。这里先用Euler公式，此处具体格式为：取步长为h=0.1，计算结果略。由结果可见Euler方法的精度很差。即为Euler格式（3）。因为差商是微分的近似，所以Euler格式也可用差商近似代替导数的离散方法来得到。在节点处有：二后退Euler格式显然Euler格式具有递推性，在计算时只要用到前一步所得的结果一个信息就够了，因此是一种单步格式或称一步格式。若用不同的数值微分计算方法也可导出其它形式的算法。例如：用向后差商表示的数值微分公式（

7、6）称为向后Euler公式，又称为隐式Euler公式(后退Euler格式)。后退Euler公式与Euler公式有着本质的区别，后者是关于的一个直接计算公式，这类公式称作显式的；而前者，即（6）中右端含有未知的，它实际上是关于的一个函数方程。这类公式称作隐式的。显式与隐式两类方法各有特点，使用显式算法远比隐式算法方便，但考虑数值稳定性等因素，人们常选用隐式算法。隐试算法（6）常用迭代法来实现，而迭代过程实质上是逐步显式化。设用显式Euler格式算出作迭代初值，以此代入（6）右端，使之转化为显示，直接计

8、算得：，再用代入（6）右端又有：若迭代过程收敛，则极限值必为隐式方程（6）的解，从而可获得后退Euler方法的解。如此反复进行可得序列。从几何上看，梯形公式是取区间两端点处斜率的平均斜率。比较Euler公式和后退欧拉公式的截断误差公式（4），（7）易见两者为同阶，但符号相反，因此就想到将这两种算法进行算术平均，其结果可能消除误差的主要部分，而获得更高精度的结果。这种平均方法称为梯形方法，公式为：三梯形公式Euler方法是过点以斜率引直线交的点A。后退Euler方法是以