资源描述：
《第十四讲多元函数的极限与连续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十四讲多元函数的极限与连续14.1多元函数极限与连续的基本概念对多元函数的研究，主要以二元函数为代表，对多于两个变元的函数，基本上与二元函数相似.要讨论二元函数，就要涉及它所定义的平面点集问题，这正如要讨论一元函数就要研究实数点集一样.一、关于平面点集1・点PQ(x0,y0)的邻域对》>0,称点集｛(x,y)
2、卜一兀()
3、v6,卜一y()
4、v§｝为人)点的方形》邻域；称点集(x-x0)2+(y-y0)2<(y2为乙点的圆形/邻域(它们是等价的).通称为人点的/邻域,记作U(时)，简记为U(c)，空心邻域记为U°(c)•2•点与点集之关系PgR2为一定点，
5、EuF为一点集.(1)内点：若3J>0,使U(P；》)uE,则称P为E的内点.E的所有内点所成之集称为E的内部，记为intE.(2)外点：若3(5>o,使u(p；》)nE二①，则称P为E的外点.o)界点：若0力>0,有u(p；》)nEH①，且14尺5)门疋°工①(其屮厂为的余集)，则称P为E的边界点，简称为界点.E的所有界点所成之集称为E的边界，记为0E(4)聚点：若XM>0,有U°(P；^)n£^(D,则称P为E的聚点.E的所有聚点所成之集称为E的导集，记为E.(5)孤立点：若PwE,且曰力>0,使U°(P；》)nE二①，则称P为E的孤立点.3.一些重要
6、的平面点集(1)开集：若EE=E，则称E为开集.(2)闭集：若EuE,则称E为闭集，(3)连通集：若E内任意两点之间都可用一条完全含于E内的有限折线相连接，则称E为连通集.(4)开域：连通的开集称为开域.(5)闭域：开域连同其边界所成点集称为闭域.(6)区域：开域、闭域或开域连同它的部分边界所成的点集通称为区域.(7)有界集：若3r>0,使得EcU(O,r)(0为坐标原点)，则称E为有界集.（8）无界集：若Vr>0,使得E（XU（0,r）（0为坐标原点），则称E为无界集.（9）点集的直径：d（E）=sup（P,G）（其中p表示距离）O.QeE4.的完备性.
7、与实数的完备性一样，也是完备的.刻画实数完备性的定理也可推广到/?2中来.（1）点列的极限：设心（兀,儿）｝u/?2,为一点列，R1为一定点，若对V£>O,37V>0,当n>N时，恒有p（M））V£,则称｛代｝收敛于人，记为limPn=P｛｝注:lim匕=&olimxn=x0Jim儿=yQ.CO"T8HT8（2）柯西准则：点列｛代｝收敛O对V£>0,3N>0,当n,m>N时，恒有p（Pn,PltI）<£・（3）闭域套定理：设｛Dn｝是F中的闭域列，满足：①=）U+i，n=1,2,…；②limJn=0（6/n=rf（Dj）;则存在唯一的点PQeDtl,n=1
8、,2,…（4）聚点定理：设E为有界无穷点集，则必有聚点.推论：有界无穷点列必有收敛子列.（5）有限覆盖定理：设D为有界闭域，H=｛AaA（l,aeI为开域｝,若H覆盖了D,则必有有限个开域覆盖了D,即UA,.z）D./=1例14.1设EuM为一点集，川益,儿）为E的内点，B（丸,几）为E的外点，证明：连接A,B的直线段必与E的边界dE至少有一个交点.证明：记比一忑
9、=厶,
10、儿一加=厶・取线段AB的中点C（兀：,儿），若CGBE,则结论已成立.否则A与C或B与C必有一对是一内一外的.将它们记为AG：,*）,则显然：①［斗,彳u［xa,^］，br,w］u［儿
11、,）订；ahAx~x~29>1->1②重复以上步骤，若有某次取的中点C店BE,则证明结束，否则这一过程一直进行下去，得到两个点列｛An（x：9y：）｝,｛需,比）｝满足:①ki，如<=[x：,兀:山加,加u[y^yhAn=1,2,…）②卜一店令,皿胡=务由实数的闭区间套定理必存在唯一的兀0wk；，T；]）bwb爲疋b=1,2,…，下证P.^y^edE・事实上,假设不是如此，则&要么属于E的内部，要么属于E的外部，不妨设它屈于E的内部，由开集的定义，3J>0,使得U（A；》）uE由区间套定理,对上述的<5,3/7>0,当n>N时,｛观（瑁,*）｝uU（&
12、；5）,｛e（€，£）｝uU（%；3），此与我们的取法矛盾，即必有佗（%o，yo）udE二、二元函数及极限（一）二元函数1.二元函数定义若厂是从Du"到实数集R上的一个映射，则称f是一个二元函数，D为f的定义域，/（D）cR是其值域•记为z=/（x,y）,（x,y）eD.2.n元函数定义若f是DuF到实数集R上的一个映射，则称f是一个n元函数，D为f的定义域，/（D）cR是其值域.记为y=f｛xx,x2xn）,（%!,x2xn）eD3・k一次齐次函数若函数氏=f（tx｛,tx2txn）=tk/（%!,x2%J则称f为k一次齐次函数。如/（x,y）=x2+y
13、2-xytan—是2一次齐次函数y（二）二元函数的极限1•二重极限
