第十六章 多元函数极限与连续

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1、第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数1.判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出他们的聚点与界点。(1)(2)(3)(4)(5)(6)；(7)(8);(9)解：（1）有界集、区域，其聚点为(2)开集，聚点为界点为(3)闭集，界点为（4）区域，开集，其聚点为界点为（5）有界集，区域，开集，其聚点为界点为（6）有界集，闭集，其聚点为界点为。（7）有界集、闭集，其聚点为界点为（8）闭集，其聚点是空集，界点为（9）闭集，其聚点为，界点为2.试问集合与集合是否相同？解：不相同，第一个点集为第二个点集的子集。因为不属于第一个点集，但包含第二个点集。3．证明：当且仅当

2、存在各点互不相同的点列时，是E的聚点。证明：设，且互不相同，，因为所以对，时，有即故为的聚点。反之，设为聚点，则由聚点的定义，对于对于；且故；作归纳假设：已经找到k个点{}其中因为所以互不相同。现在，对使互不相同，如此等等，这样就得到了互不相同的点列又由于又由于故4．证明：闭域必为闭集。举例说明反之不真。证明：设为闭域，因为闭域是开域连同边界所成的点集，闭集的所有聚点都属于，所以对情况1，当为开域是的内点必为的内点；情况2：当为的非孤立的界点为的一个聚点，从而得知的一切点均为的聚点。反之，不真。反例：则的开域是的边界是闭域又显然中的一切点均为聚点，且为的全部聚点，所以为闭集，非闭域。5．

3、证明：点列收敛于的充要条件是和。证明：必要性：设则对当时，有即从而故充分性：设则对当时，有从而（方领域）所以6．求下列函数的值。（1），求（2）求（3），求解:（1）（2）（3）7．设证明：若则.证:因为所以8．求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集；（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10））解：（1）函数的定义域为无界开集，（2）函数的定义域是无界开域（3）函数的定义域是无界闭集（4）函数的定义域是无界闭集（5）函数的定义域是无界开域（6）由得于是函数的定义域是无界闭集（7）函数的定义域是无界开域（8）因为无论取任何实数均不会使，所以函数的定义

4、域是整个平面，它是即开又闭的无界区域.（9）函数的定义域是整个三维空间，它是即开又闭的无界区域.（10）正数的定义域是有界区域§2二元函数的极限1．试求下列极限（包括非正常极限）：（1）;(2);(3);(4);(5);(6)(7);解：（1）当(x,y)时，0.而.(2)因为.(3)因为+1，所以，原式（4）因为，所以（5）因为，所以，原式=（6）当时，故（7）2．讨论下列函数在点（0，0）的重极限与累次极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解：（1）当动点沿直线趋于点时，有，其极限值依赖于，因此，（2）因为，所以当时，的极限不存在，因此不存在，同法可得（3）当沿时，有，当沿

5、时，有因此不存在，（4）当沿时，有，当沿时，有，因此不存在，（5）因为，所以，不存在（6）当沿时，有，当沿时，有，因此不存在。（7）当沿时，不存在。所以不存在。的两个累次极限均不存在。3．证明`：若存在且等于A；2y在b的某临域内，存在有则证明：由条件知，，存在当且时，有（1）由条件知，当y在b的某临域内时,存在，令当时，在（1）式中令，得于是即4．试应用定义证明证明：当时，，因此，对任给，取，则当时，所以5．叙述并证明：二元函数的唯一性定理，局部有界性定理与局部保号性定理。（1）唯一性定理：若极限存在，则此极限是唯一的证明：设A、B都是当时的极限，则对任给的，存在，当时，从而由的任意性

6、得（2）局部有界性：若存在，则存在的空心临域，使在上有界证明：设，则对存在，对一切有，即（3）局部保号性：若（或<0），则对任意整数（或，存在，对一切，有（或证明：设，对任何取则存在，对一切有于是。对于的情况可类似证明以上证明中是函数的定义域§3二元函数的连续性1讨论下列函数的连续性（1）解：(1)函数在上连续.在平面的圆周上间断.（2）解（2）函数在直线上间断.在上连续.事实上，对当充分小时，有，于是.从而，即在D上连续（3）解（3）在内，处处连续.在上，因为，所以即在点连续.在上，因为，所以在上间断.在上连续（4）解（4）当时，在点连续.当时，因为，于是，即在点连续.故在整个平面上连

7、续（5）设，则当为有理数时，当为无理数时于是.当且仅当时成立.所以，仅在上连续.2．叙述并证明二元连续函数的局部保号性。证：设，对任何，取，因为在点连续，所以存在，使当时，有，从而.对的情况可类似证明3．设试讨论它在点处的连续性.解因为.当，即时，，所以即在点处连续.当时，因为所以，即在点不连续.综上所述，时，在点处连续，而时，在点处不连续.4．设定义在闭矩形域.若对在上处处连续，对在（且关于）为一致连续，证明在上处处不连续.证：.