数学分析第十六章 多元函数的极限与连续

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1、多元函数微积分多元函数的极限与连续多元函数微分学隐函数定理及其应用含参量积分曲线积分重积分曲面积分第16章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数（了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念）一、平面点集坐标平面……平面点集E={(x,y)

2、(x,y)满足的条件}邻域U(A,δ)={(x,y)

3、(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}U(A,δ)={(x,y)

4、

5、x-x0

6、<δ,

7、y-y0

8、<δ}空心邻域U0(A,δ)={(x,y)

9、0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}U(A,δ)={(x,y)

10、

11、x-x0

12、<δ,

13、y-y0

14、<δ,(x,y)≠(x0

15、,y0)}（一）下面利用邻域描述点和点集的关系(ⅰ)内点U(A)E(ⅱ)外点U(A)E=(ⅲ)界点U(A)E≠且U(A)EC≠点A∈R2和点集ER2必有以下三种关系之一：若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.E的边界点的全体称为E的边界,记作E;(ⅰ)聚点U0(A)E≠点A近旁是否有点集E中无穷多点构成另一种关系：聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)(ⅱ)孤立点A∈E且U0(A)E=练习1:问

16、A是E的内点?外点?(1)设问(2)设是E的聚点?孤立点?呢?（二）一些重要的平面点集闭集E的所有聚点∈E开域连通的开集闭域开域连同边界开集intE=E有界点集、无界点集点集的直径三角不等式区域开域、闭域，或开域连同部分边界练习2:则原点是K的点(1)设孤立点、界点，但不是聚；圆周上的点是K的点界点、聚，但不属于K；K是开域、是闭域，有界集。不也不是(2)求下列平面点集的聚点集合二、R2上的完备性定理R2上的完备性定理是二元函数极限理论的基础。为此，先给出平面点列的收敛性概念。定义1设为平面点列，为一固定点.若使当时，有则称点列收敛于记作或点列极限的两种等价形式：定理16

17、.1(柯西准则)平面点列收敛的充要条件是：使当时，对一切有定理16.2(闭域套定理)设是中的闭域列，满足则存在唯一的点课堂练习：P92:1(1)(3)(6)作业：P92:1(7),3,5定理16.3(聚点定理)设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点。推论有界无限点列必存在收敛子列定理16.4(有限覆盖定理)设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了(即),则在中必存在有限个开域它们同样覆盖了(即)。推广：将定理16.4中的改为有界闭集，而为一族开集，此时定理依然成立。三、二元函数定义2设平面点集若按照某种对应法则中每一点都有唯一确定的实数为定义在上的二元函数，记作为与之对应，则

18、称的定义域,…函数值,…值域,…自变量,…因变量。为方便计，二元函数也记作或便是二元函数三维欧氏空间中的点集的图像。例2例3例4例5若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。否则称为无界函数。练习3:描绘下列函数图象四、n元函数设点集若按照某种对应法则使每一点都有唯一确定的实数为定义在上的n元函数，记作与之对应，则称n元函数也记作或课堂练习：P92:4,6(1)(3);P93:8(1)(4)(7)作业：P93:8(5)(10)小结：1、掌握平面点集的有关概念；2、了解平面上的完备性定理；3、了解多元函数的概念。§2二元函数的极限一、二元函数的极限定义1设为定义在为

19、的一个聚点，是一个确定的实数.若上的二元函数，使当时，都有则称在时，以上当为极限，记作在对于不致产生误解时，也可简单地记作或例1依定义验证证明例2设下面的定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归纳原则，证法也类似。的聚点，就有只要定理16.5是不存在，则推论1设是的聚点，若也不存在。但推论2设是的聚点，若存在极限也不存在。则所对应的函数列推论3且存在都收敛。例3讨论时是否存在极限。当例4讨论时是否存在极限。当定义2设为定义在为的一个聚点。若上的二元函数，使当时，都有则称在时，存在上当非正常极限，记作或类似地可以定义和例5设证明二元函数极限的四则运算法则和

20、相应定理仍成立。例如，课堂练习：P99:1(1)(2)(3)二、累次极限在上段所研究的中，两个自变量同时以任何方式趋于这种极限也称为重极限。在这段里，我们考察以一定的先后顺序相继趋于时的极限，这种极限也称为累次极限。定义3设的聚点，二元函数在上有定义。若是存在极限，记作的聚点，是而进一步存在极限则称此极限为先对后对的累次极限,记作或简记作类似地可定义先对后对的累次极限例7设讨论在原点的重极限和累次极限。例8设讨论在原点的重极限和累次极限。重极限和累次极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的联系。例如：重极限和累次极限在一定