希望杯竞赛数学试题详解(31-40题)

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1、题31已知，求函数的最大值.（第九届高二培训题第61题）题32已知，且，则的最小值是　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（第十届高二培训题第44题）题33实数，满足方程，则的最大值与最小值的和等于_______.（第十届高二第二试第17题）题34线段AB的端点坐标是A（-1，2），B（2，-2），直线y=kx+3与线段AB相交的充要条件是（）A、B、C、且k≠0D、（第八届高二培训题第2题）题35过点且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是.(第十届高二第一试第18题)题36某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每

2、生产1吨甲产品需要原材料A、B、C、D的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A、B、D的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A、B、C、D四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品吨，期望的最大利润是百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37点M是圆内圆心以外的一点，则直线与该圆的位置关系是（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交（第七届高二第一试第5题）题38过圆与

3、圆的交点的直线方程是.（第二届高二第二试第15题）题39若实数、适合方程，那么代数式的取值范围是——.（第九届高二第一试第17题）题40圆上任意一点都使不等式成立，则C的取值范围是（）A、B、C、D、(第七届高二第一试第10题)31.解法1取待定正数，由均值不等式得令则于是当时取等号.解法2可化为配方，得由上式可得即由已知，显然有（当时，取得最大值）.解法3由已知，得且当且仅当且即时取等号.解法4当且仅当时取等号.当且仅当时，取得最大值解法5当且仅当即时取等号，解法6时，解法7构造如图长方体，设对角线与交于点的三个面所成的锐角分别为，

4、长方体的三条棱分别为则有于是即时，解法8由得（1）关于的一元二次方程（1）的判别式，解得当且仅当时取得等号.把代入（1）可得,评析若，则，这就是说，只要与的倍数之间建立了不大于的关系，则的最大值就求出了.因而解决问题的关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数、，并运用解法3运用公式，解法4、解法5运用，解法6运用，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将的分子、分母同除以，巧妙地通过配平方，得到进而得，很富新意.解法7通过构造长方体（若三条棱分别为的长方体的对角线长为，则有而恰好是的分母，且长方体中有）解决问题.解法8则把变为，看作

5、关于的一元二次方程，利用其有正根的条件得到，是方程思想的典型运用.拓展设，显然有的最大值为，即；设，已解出的最大值为，即我们不妨猜想：命题若则的最大值是证明取正参数令（1），因求最大值，故还必须有此即将上式代入（1），得（2），令则观察（2）的形式，考虑作代换故数列是公比为的等比数列，于是（3）.再令（3）为，上式变形为这样，又得到一个公比为的等比数列，即故有.而故有，整理得化简得.的最大值唯一，应能求出的一个确定的值，对于这个的值，我们有从而又（1）和（2）是取最大值的充要条件，由（1）（2）可推得（3）.将代入（3），化简得对任意

6、都有应取.至此，已推知32.解法1是直线上的动点，点到此直线上各点距离的最小值是点A到该直线的距离，.解法2.当，即时取等号.所求最小值为18.解法3.当，即时取等号.所求最小值为18.解法4，．当即时取等号的最小值为18.解法5　当时，有最小值18.解法6　设又设则由得即即解得的最小值为18.解法7　构造向量即当且仅当时，取得最小值18.评析因为已知所以要求的最小值，关键就是得到与关于的式子之间的大于等于关系.解法2利用解法3利用柯西不等式解法4巧妙地利用配方法，都顺利地解决了这一关键问题.解法5则是把代入所求式，使之变为关于的二次

7、函数，再求其最小值，是函数思想的具体运用.解法6设后，运用三角代换，最终转化成解关于的不等式，是等价转化思想在解题中的一次妙用.解法7通过构造向量，利用即使问题获解，充分发挥了新教材中向量这一工具在求代数最值中的作用.应当指出，许多最值问题都可以通过构造向量，利用向量的上述性质得到解决.而解法1则是将看作定点与直线上的动点的距离的平方，故能直观地知道点到直线的距离的平方就是所求的最小值，简洁明了，充分显示了等价转化与数形结合思想的威力.拓展将此赛题一般化，便得下面的定理若x,y满足（A、B、C是实常数，A、B不全为零），m，n是实常数

8、，则的最小值是.证明，表示定点与直线上的动点之间的距离d的平方.的最小值是.运用该定理解本赛题：所求最小值是.下面的题目供读者练习：1.已知x，y满足，求的最小值.2.已知，且，求的最小值.3.已知，且，求的最小值.答案