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《希望杯竞赛数学试题详解(11-20题)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、题11使不等式的解是的实数的取值范围是（）A、B、C、D、（第十一届高二第一试第6题）解法1由已知可知的解集是.在此区间上函数是单调增的.因此的值应当满足关系选B.解法2原不等式同解于，因为，所以，从而.故选B.评析上述两种解法的实质是一回事.关于此题，刊物上有数篇文章的观点值得商榷，现摘其部分加以分析.一篇文章认为：“由已知不等式得，欲使其解为，实际上是对的任何，恒成立，而在上是增函数，所以当时，.故选B.”另一篇文章在介绍了“设则”后分析道：“令，当时，，又，故，选B.”还有一篇文章干脆将题目改为：使不等式的解是的实数的取值范围是（）A、B、C、D、并作了如
2、下解答：“由已知得，记，因为在时，单调增，所以.因此，.选B.”首先应当指出，第一、第三篇文章中说增函数在上的最小值是是明显错误的.这三篇文章共同的观点是“不等式的解是”等价于“对的任何，恒成立”.按此观点，应当有，题目就错了（选择支中没有正确答案），又怎么能选B呢？第三篇文章也将题目改错了（选择支中同样没有正确答案）.问题的关键在于“不等式的解是”与“对的任何，恒成立”到底是否等价.为说明这一问题，我们只要看一个简单的例子就能明白了.不等式的解集是，求的取值范围.如果认为它等价于“时，不等式恒成立，求的取值范围”，就会这样解：由得在上的最小值是为所求.而事实上
3、，，但的解集却不是，而是，可见两者并不等价.至此，我们可以得出结论：“关于的不等式的解集是D”与“时，关于的不等式恒成立”不一定是等价的.题12已知是正数，并且，求证.(第十届高一培训题第74题)证法1若与中有一个等于1,那么另一个也等于1,此时,显然.若且,可将改写为,由此推得(若,则,得,这与矛盾),由此得得.证法2与同号,.证法3由及,得又与同号,.评析解决本题的关键在于如何利用已知条件.证法1通过分类讨论证得,较繁.由于,故证法2作差,只要此差大于等于0命题便获证.而证法3将表示成①,便将问题转化成证①式小于等于2.证法2,3的作法既有技巧性,又有前瞻性
4、,简洁明了.拓展本题可作如下推广推广1设,且,则.推广2设,且,其中,则.推广3设,且,其中,则.推广4设,且,其中,,则②.由于推广1，2，3都是推广4的特例，故下面证明推广4.证明⑴当时，②式显然成立.⑵当不全为零，有与同号，即当不全为零时，②式也成立.综上，不等式②成立.推广5设，且，其中，则.推广6设，且，其中，则.推广7设，且，其中，则③.由于推广5，6是推广7的特殊情形，故下面证明推广7.证明由幂函数的性质，可知与同号，即不等式③成立.从变元个数进行推广可得推广8设，且，其中则推广9设，且，其中则④.由于推广8是推广9的特例,故下面证明推广9.证明令
5、由下标的对称性,对换上式的下标,得.将上面两式相加,得,由幂函数性质知与同号,即,,即不等式④成立.题13设，，，，，是实数，且满足，证明不等式.（第十届高二第二试第22题）证法1当时，原不等式显然成立.当时，可设.易知右边..是开口向下的抛物线，即.综上，时，.证法2，，，当时，，又，求证的不等式成立.当时，.综上，在题设条件下，总有.证法3设，，，则由知，从而.,，，即.证法4设，，则，又..证法5记，，为坐标原点，则由,得，整理得，，.评析这是一个条件不等式的证明问题.由求证式是的形式自然联想到二次函数的判别式，构造一个什么样的二次函数是关键.当然是构造，
6、但只有当时，才是二次函数，故证法1又分与两类情形分别证明.很显然，等价转化思想、分类讨论思想是证法1的精髓.证法2直接运用基本不等式证明.证法3通过换元后证明（即求证式），技巧性很强，一般不易想到，读者可细心体会其思路是如何形成的.证法4由求证式中的,及联想到空间向量的模及数量积，因而构造向量解决问题.证法5则从几何角度出发，利用使问题轻松得证.五种证法，从多角度展示了本压轴题的丰富内涵.拓展本题可作如下推广：推广1若，则.推广2若，，则.两个推广的证明留给读者.题14已知，并且，求证：.（第一届备选题）证法1令，且为锐角，则题设可化为，即.由柯西不等式知..由
7、万能公式得,即证法2构造二次函数.，当且仅当取时取等号，，即，又，故.（当且仅当时取等号）证法3，即，即于是,即.证法4令则，且，所以所以.证法5设则左边=证法6同理三式相加得即故证法7由已知，易知证法8由已知，易知设则所以证法9由易得，于是证法10由易得.同理，证法11由已知，易得.构造空间向量评析条件不等式证明的关键在于如何利用条件，而当条件难以直接利用或条件式显得相当复杂时，通常应当将条件适当转化，证法1、4、5、8正是通过不同形式的换元，使得问题变得简单易证的.灵活（变形）应用基本不等式（证法6、证法10），柯西不等式（证法3、7），以及一些重要的结论（
8、证法9）也是证明不等式的
