希望杯竞赛数学试题详解(1-10题).doc

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1、题1已知的大小关系是.（第十一届高二第一试第11题）解法1，..解法2，.解法3=.解法4原问题等价于比较与的大小.由得，..ABCxyOb-abb+a图1解法5如图1，在函数的图象上取三个不同的点A（，）、B（，）、C（，）.由图象，显然有，即，即，亦即.解法6令，单调递减，而，，即，.解法7考虑等轴双曲线.如图2，其渐近线为.在双曲线上取两点ABOxy图2A（，）、B（，）.由图形，显然有，即，从而.解法8如图3.在Rt△ABC中，∠C为直角，BC=，AC=，BD=，则AB=，DC=.在△ABD中，AB-AD

2、C图3从而AD-DC

3、单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取则，，可再取两组特殊值验证，都有.故答案为.从逻辑上讲，取，得.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得，也只能说明或作为答案是错误的，而不能说明一定是正确的,因为这不能排除的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已

4、知的大小关系是（）A、B、C、D、此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D，并且方法简单，答案一定正确.总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题2设，且恒成立，则的最大值为（）A、2B、3C、4D、5（第十一届高二第一试第7题）解法1原式．．而+，且当，即时取等号．．．故选．解法2，，已知不

5、等式化为．由，即，故由已知得，选．解法3由，知，有．又，即，由题意，．故选．解法4，．已知不等式可变形为．记，则．由题意，．故选．解法5于是．比较得．故选．评析由已知，可得恒成立．根据常识“若恒成立，则；若恒成立，则,”的最小值就是所求n的最大值，故问题转化为求的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了；解法2运用了；解法3运用了；解法4运用了；解法5运用了．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归．此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P第8题：已知，求证：．证：令，则．．，．

6、此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设，则．恒成立，就是恒成立．也就是恒成立．恒成立，由题意得．故选．再看一个运用这一思想解题的例子．例设，求证：．（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明设则．，①，,即，．本赛题还可直接由下面的命题得解．命题若，则．证明，都大于．反复运用①式，可得:“若,则,当且仅当时取等号”.故有．也可以这样证明：，．故由柯西不等式，得，即．，．由此可得本赛题的如下解法：，，．由题意，．故选．由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设，并且，，则与的

7、大小关系是()A、B、C、D、解，．故选．题3设实数满足，，则的最大值为()A、B、C、D、（第十一届高二培训题第5题）解法1设则即max=.故选D．解法2,又,当且仅当且即时取等号，解法3当且仅当时取等号，故.解法4设则当且仅当共线，即时取等号，故.解法5若设，则直线与圆有公共点，于是，即.解法6　设,则当且仅当时取等号，故．解法7构造函数，则故即解法8由还可构造图形（如图），其中为圆的直径，由托勒密定理,得，从而得，当且仅当且时取等号．．评析解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通

8、法之一．解法2运用基本不等式将放大为关于与的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：．故选A．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是①且②，而