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《希望杯竞赛数学试题详解(71-80题)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、【希望杯竞赛题】71-80题71△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=，A点关于平面PBC的对称点为A’，求直线A’C与AB所成角的余弦值.（第九届高一第二试第22题）解法1设D是BC的中点，AA’与面PBC交于O，由已知，O必在PD上.∽△PDA，∴.又A与A’关于平面PBC对称，∴A’B=AB=1，由A’A=A’B=1，CA=CB=1，可得A’C⊥AB，BCAPA’O图1EF∴A’C与AB所成角的余弦值为0.解法2如图1，作CA’AF，则直线A’C与AB所成角的余弦值等于
2、cos∠BA
3、F
4、，由于两点A’，A关于平面PBC对称，则该平面上任意点与A’，A等距离，故A’C=AC=1.设A’A交面PBC于O点，延长PO交BC于E，连结AE，易知BC⊥PA，BC⊥AO，故BC⊥平面PAE，所以BC⊥AE，又AB=AC=BC=1，所以E是BC的中点，，易求，则FC=A’A=2AO=1，由于A’A⊥BC，CF∥A’A，则CF⊥BC.又由FC=CB=1，知.由AF=A’C=1，AB=1，知AF2+AB2=1+1=2=BF2，所以，
5、cos∠BAF
6、=0为所求.BCAPA’O图2EM解法3如图2，取AC
7、的中点M，设E是BC的中点，A’A交面PBC于O点，连结OM、EM，则OM∥A’C，EM∥AB，则直线A’C与AB所成角的余弦值等于
8、cos∠OME
9、，同解法2可得A’C=1，，，则OM=A’C=，OE=，由ME=AB=，知OM2+ME2==OE2，所以，
10、cos∠OME
11、=0为所求.解法4如图3，连结A’A交面PBC于O点，连结A’B、A’C，则A’B=AB，A’C=AC.VP-ABC=S△ABCPA=，VA—PBC=S△PBCAO=，BCAPA’O图3又∵VP-ABC=VA—PBC，所以=，∴.∵A’O
12、=AO，∴A’A=1.故三棱锥A’—ABC为正四面体，∴A’C⊥AB，直线A’C与AB所成角的余弦值0.yBCAPA’O图4ExzQ解法5如图4，建立空间直角坐标系A-xyz（A为坐标原点），则A(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),B(),易知平面PBC交x轴于点Q(),由截距式得平面PBC的方程为，即，于是平面PBC的一个法矢量，由此设与平面PBC的垂足为O，代入平面PBC的方程，得，则点O.又由于的中点是O，则易知设与所成的角为，则cos=，即直线与所成角的余弦值为0.评析与显然是异面直线
13、，其所成角的余弦值一般应通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角后再求.解法2、3就是通过不同途径实现这种转化的.按照解法2的思路，同样可以作或，则或亦为所求.因为正四面体的对棱互相垂直，故解法1、4证明了AABC恰为正四面体，从而问题也就解决了.解法5则是运用向量知识解决问题，这也是求空间两直线所成角的常用方法.拓展此题可作如下推广若△ABC中B、C为定角，A角对边为定值，PA面ABC，PA=，△ABC的面积为，直线AC与AB所成角为，则.BDAPCOA’图5证明因为角B、C及边为定值,故△AB
14、C可解,其面积S为定值.如图5,过A作ADBC,O为垂足,连结PB,PC,PO.由题设知BCPO,BC面PAO.面PBC面PAO.作A点关于直线PO的对称点A,则A也是A点关于平面PBC的对称点,连结AC,AO.过点C作AB的平行线交AO的延长线于D,则ACD就是AC与AB所成的角.又可知BCD=B,,二面角A—BC—D的平面角AOD=-AOA,AOA=2POA,又OA=,由tanPOA=得.由三射线定理,可得运用推广,不难验证原题中直线与所成角的余弦值.题72已知正方体的棱长为，它的体对角线和与它不共面的
15、面对角线之间的最小距离等于________.(第十五届高二培训题第49题)解法1如图1,要求与之间的最小距离.因为,所以平面.由与的交点作于，则.故就是异面直线与的公垂线段，其长为所求最小距离.ABCDOO’A1B1C1D1图1为所求.ABCxNMA1B1C1D1图2zyD解法2如图2，以为坐标原点，分别以直线、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.设、分别是、上的点.设点的横坐标为，则易知其横坐标与立坐标分别为，；设点的纵坐标为，则易知其横坐标与立坐标分别为.即，.所以，所以ABCA1B1C1D1图3DA2
16、B2C2D2（当且仅当且时取等号）.所以所求最小距离为.解法3如图3，在已知正方体旁补上一个与其一样大小的正方体.连结，,则易证，所以，所以与平面间的距离，也就是点到平面的距离就是异面直线与间的距离，即为所求.设点到平面的距离为.易求得，，.因为，所以.所以.由，即=，亦即，得为所求.评析此题就是求异面直线间的距离，其主要方法有：（1）求异面直线的公垂线段的长；（2）求两异面直线上两点间距离的最小值；（3）转化为
