希望杯竞赛数学试题详解(81-90题)

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1、高中数学希望杯典型例题100道（81-90）题81过正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC的中点E、F作一个截面，使截面与底面ABCD所成的角为450，则此截面的形状为（）A、三角形或五边形B、三角形或六边形C、六边形D、三角形或四边形（第六届高一第二试第5题）ABCDA1B1C1D1O1OEFG解显然，必有一个截面与棱BB1相交，此截面是三角形.设过D1的截面与底面所成的角为，易求得tan∠D1GD=，故<450，又设过A1、C1的截面与底面所成角为，则易求得tan=tan∠O1GO=>1,故,于是另一截面应

2、与A1D1、D1C1相交（不过其端点），形状为六边形，故选B.评析解决此题的关键是要求具有较强的空间想象力，能够理解确定截面形状的下列方法：若截面与棱DD1相交，则截面为五边形；若截面与棱A1D1、D1C1都相交（但不过其端点），则截面为六边形；若截面与棱A1B1、B1C1都相交（但不过点B1），则截面为四边形.原解答中说“为考察另一截面是否与DD1相交，只需考虑过点D1的截面与底面所成角θ的大小”，并在得到θ<450后，就说截面是六边形.这种理由并不充分.θ<450只能说明截面与DD1不相交，但不能说明截面一定是六边

3、形.事实上，当截面过A1C1时，截面与DD1不相交，但截面却是四边形.拓展根据上述解法及分析，并考虑到截面过点B1时，截面与底面所成角为arctan，与截面过A1C1时截面与底面所成角相等，我们可得如下：结论过正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC的中点E、F作一个截面，使截面与底面ABCD所成的角为θ（0<θ≤），则当时，截面的形状为三角形或五边形；当时，截面的形状为三角形或六边形；当时，截面的形状为三角形或四边形；当arctan<θ≤时，截面的形状为四边形.题82正方体中，为的中点，为的中点，异面直线与所成

4、角的余弦值是（）A、B、C、D、(第十五届高二第二试第9题)A1BCDA1B1C1D1OEF图1解法1如图1，取中点，连结，则∥，所以是与所成的角，设正方体棱长为1，则，，，所以，故选B.A1BCDA1B1C1D1GEF图2解法2如图2，取正方体的面的中心，连结.易证∥且，∥且，∥且，四边形为平行四边形，∥，就是与所成的角.设正方体棱长为1，则易求得，，，在中，由余弦定理，得A1BCDA1B1C1D1yxzF图3E，故选B.解法3如图3,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则，，，，所以，，所以，故选B.评析运用几何

5、法求异面直线所成的角，一般通过平移其中一条或两条，转化成相交直线所成的角，例如本题解法1将平移至，解法2将平移至，然后往往通过解三角形求此角（常常运用正弦定理、余弦定理、勾股定理及其逆定理）.而用向量法求异面直线所成的角，只需利用公式，将几何问题转化成向量运算，一般比几何法简单.题83多面体表面上三个或三个以上平面的公共点称为多面体的顶点，用一个平面截一个n棱柱，截去一个三棱锥，剩下的多面体顶点的数目是（）A、B、C、D、（第四届高一第二试第10题）解法1n棱柱有个顶点，被平面截去一个三棱锥后，可以分以下6种情形（图1

6、~6）图1图2图3图6图4图5在图4，图6所示的情形，还剩个顶点；在图5的情形，还剩个顶点；在图2，图3的情形，还剩个顶点；在图1的情形，还剩下个顶点.故选B.解法2如图1~6，令=4，则四棱柱共有8个顶点，截去一个三棱锥后，在图4，图6的情形，剩下8个顶点；在图5的情形，剩下7个顶点；在图2，图3的情形，剩下9个顶点；在图1的情形，剩下10个顶点.说明剩下的顶点数共有4种不同情形，对照选择支，可知选B.评析解决此题的关键是搞清楚截去1个三棱锥的情形有几种，实际上是四类情形：1、截面不过任何顶点（如图1），此时顶点增加

7、了2个；2、截面仅过1个顶点（如图2，3），此时顶点增加了1个；3、截面仅过2个顶点（如图4，6），此时顶点数不增不减；4、截面过3个顶点（如图5），此时顶点减少了1个.解法2根据这四类情形判断顶点数有4种，便选B，更为简捷.拓展将此题引申，便有下面的问题：用一平面截一个棱柱，截去一个三棱柱，剩下的多面体的顶点数是__________，面数是_____________.分析：依题意，截面只能与侧棱平行或过一条（或2条）侧棱，故共分三类情形：1、截面不过侧棱，此时，顶点增加了2个，面数增加了1个；2、截面过一条侧棱，此时

8、，顶点数不变，面数不变；3、截面过两条侧棱，此时，顶点减少了2个，面数减少了1个.由于已知棱柱的顶点数是，面数是，故填或或；或或.题84在长方体中，,过的截面的面积为，求的最小值，并指出当取最小值时截面的位置（即指出截面与有关棱的交点的位置）.（第五届高一第二试第22题）解截面可能是矩形，可能是平行四边形.A1BCDA1B1C1D