希望杯竞赛数学试题详解(51-60题)

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1、题51LetpointMmovealongtheellipse,andpointFbeitsrightfocus,thenforfixedpointP(6,2),thenmaximumof3

2、MF

3、-

4、MP

5、is,wherethecoordinateofMis.(ellipse椭圆；focus焦点；coordinate坐标)（第十四届高二第二试第18题）译文：点M是椭圆上一点，点F是椭圆的右焦点，点P（6，2），那么3

6、MF

7、-

8、MP

9、的最大值是，此时点M的坐标是.-3O1369xMMQDyPGlF解在椭圆中，，则，所以椭圆的右焦点F的坐标为（1，0），离心率，右准线，显然点P（6，2

10、）在椭圆的外部.过点P、M分别作PG⊥于G，MD⊥于D，过点P作PQ⊥MD于Q，由椭圆的定义知，3

11、MF

12、-

13、MP

14、=

15、MD

16、-

17、MP

18、≤

19、MD

20、-

21、MQ

22、=

23、QD

24、=

25、PG

26、=9-6=3，当且仅当点P位于线段MD上，即点P与Q点重合时取等号.由点P位于线段MD上，MD⊥及点P（6，2），知点M的纵坐标为2，设M的横坐标为，即M（，2），则有，解得，因此3

27、MF

28、-

29、MP

30、的最大值是3，此时点M的坐标是（，2）.评析若设点M的坐标为(x,y)，则可将3

31、MF

32、-

33、MP

34、表示成x、y的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3

35、MF

36、-

37、MP

38、转

39、化为

40、

41、MD

42、-

43、MP

44、，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.拓展将此题引伸拓广，可得定理M是椭圆E：上的动点，F是椭圆E的一个焦点，为椭圆E的半焦距，P（m,n）为定点.1、若点P在椭圆E内，则当F是右焦点时，

45、MF

46、+

47、MP

48、的最小值是；当F是左焦点时，

49、MF

50、+

51、MP

52、的最小值是.1、若点P在椭圆E外，则F是右焦点，且0≤m≤，

53、n

54、≤b时，

55、MF

56、-

57、MP

58、的最大值是.F是右焦点，且m>，

59、n

60、≤b时，

61、MP

62、-

63、MF

64、的最小值是.F是左焦点，且≤m≤0，

65、n

66、≤b时，

67、MF

68、-

69、MP

70、的最大值是.F是左焦点，且m≤，

71、n

72、≤b时，

73、MP

74、-

75、MF

76、的最小值是.

77、OmFxMNyPMQl图1简证1、如图1，作MN⊥右准线l于N，PQ⊥l于Q，由椭圆定义，

78、MN

79、=

80、MF

81、.FmOxNMyQMPl图2∴

82、MF

83、+

84、MP

85、=

86、MN

87、+

88、MP

89、≥

90、PQ

91、=，当且仅当P、M、Q三点共线，且M在P、Q之间时取等号.如图2，m同理可证

92、MF

93、+

94、MP

95、

96、=

97、MN

98、+

99、MP

100、≥

101、PQ

102、=，当且仅当P、M、Q三点共线，且M在P、Q之间时取等号.2、如图3，

103、MF

104、-

105、MP

106、=

107、MN

108、-

109、MP

110、≤

111、MN

112、-

113、MR

114、=

115、RN

116、=

117、PQ

118、=，当且仅当P位于线段MN上，即P与R重合时取等号.OFmxMMNQyPl图4如图4，

119、MP

120、-

121、MF

122、=

123、MP

124、-

125、MN

126、≥

127、MQ

128、

129、-

130、MN

131、=

132、NQ

133、=，当且仅当P位于直线MN上，即点P与Q重合时取等号.OFmxMMRNyPQl图3如图5，

134、MF

135、-

136、MP

137、=

138、MN

139、-

140、MP

141、≤

142、MN

143、-

144、MR

145、m=

146、RN

147、=

148、PQ

149、=，当且仅当P位于线段MN上，即P与R重合时取等号.mFOxQPyNRMMl图5如图6，

150、MP

151、-

152、MF

153、=

154、MP

155、-

156、MN

157、≥

158、MQ

159、-

160、MN

161、=

162、NQ

163、=，当且仅当P位于直线MN上，即点P与Q重合时取等号.题52已知双曲线关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k的值等于（）mFOxPyQNMMl图6A、B、C、D（第十五届高二培训题第19题）解设点P（x0,y0）是双曲线上任意

164、一点，点P关于直线x-y=1的对称点为P’（x,y）,则①，又②，解①、②联立方程组得③.∵P点在双曲线上，∴④.③代入④，得⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得.由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=，故选B.评析解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k的值.拓展关于直线的对称，我们应熟知下面的结论1、点（x0,y0）关于x轴的对称点是（x0,-y0）.2、点（x0,y0）关于y轴的对称点是（-x0,y0）.3、点（x0,y0）关于y=x的对称点是（y0,x0）.4、点（x0,y0）关于y=-x的对称

165、点是（-y0,-x0）.5、点（x0,y0）关于y=x+m的对称点是（y0-m,x0+m）.6、点（x0,y0）关于y=-x+n的对称点是（n-y0,n-x0）7、点（x0,y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y），x,y是方程组的解.根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.xAMyOxBCDNF1F2l题53是双曲线的左、右焦点，