希望杯竞赛数学试题详解(41-50题)

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1、PyxlFoECA图1题41E、F是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的准线，点，则的最大值是（）A、15°B、30°C、45°D、60°（第十三届高二培训题第21题）θxyDPFEOl解法1不妨设l是右准线，点P在x轴上方（如图所示），则l的方程为，故可设点P为，记，由PE到PF的角为，得.又知，代入上式并化简，得.由假设知，所以.由基本不等式得，所以的最大值为30°，当时取得最大值.故选B.解法2如上图，设，则,因为所以的最大值为30°.故选B.解法3由面积的两种表示方法，即，得，因为为锐角，所以的最大值为30°.故选B.解法4依题意，经过E、F且与椭圆的准线相切于点P的圆，使最大.如

2、图1，不妨设是右准线，点P在x轴上方，则准线方程为，易得圆心C的坐标为，因此点P使最大.又PE、PF的斜率分别为、，设准线轴于点A，则，此时.故选B.评析一般说来，要求某个角的最值，常常先求出此角的某一三角函数的最值.然后根据角所在范围内此三角函数的单调性确定角的最值.解法1运用到角公式与基本不等式求出了正切的最大值，又利用为锐角时单调增，求出了的最大值.解法2将表示成两角差，并利用基本不等式求出了的最大值，进而求出的最大值.而解法3利用同一三角形面积的两种不同表示方法,求出了的最大值,再由在上单调增,求出了的最大值.此法颇有新意.解法4则利用平几中“同弧所对的圆周角总大于圆外角”

3、巧妙地解决问题.我们知道，平面解析几何研究的就是平面几何问题，只不过所用研究方法是代数方法，即解析法而已.解法4告诉我们，若能直接运用平几中的结论解决解析几何问题，常可收到化繁为简的效果.图2ylP’oQAEF拓展经研究，我们还可得到下面的定理若点P在过椭圆的长轴的一个端点的切线l上移动，则当点P到长轴的距离等于半短轴长时，点P与两焦点连线的夹角取得最大值.x证明如图2，不妨设的方程为，则以椭圆的上顶点Q为圆心，且过焦点E、F的圆必与相切（设切点为Pˊ）（因为）根据同圆Q的弦EF所对的圆周角总大于圆外角，可知就是最大的，此时，又.原命题得证.练习1．在直线上求一点P，使它与点连线的

4、夹角最大.2．足球比赛场地宽为米，球门宽为米，在足球比赛中，甲方边锋带球过人沿边线直进，试问该边锋在距乙方底线多远处起脚射门，能使命中角最大？最大角是多少？答案米题42椭圆的两焦点是、，M为椭圆上与、不共线的任意一点，I为的内心，延长MI交线段于点N，则的值等于()A、B、C、D、（第十三届高二培训题第19题）图1xMyIF1ONF2解法1如图1，设点M的坐标为，的内切圆半径为r，,又xMyIF1ONF2图2.，，，.故选B.解法2如图2，不妨令M为椭圆与轴的正半轴的交点.由已知，I必在线段MO上，且N与O重合.为的内心，.故选B.评析按常规，可设,然后求出与（或）的平分线的方程，

5、解方程组求出点I的坐标，令平分线的方程中的，得点N的坐标，再求出与.求比值时如何消去，还不得而知，其复杂程度也是完全可以想象的.作为一个选择题，轻易地这样去解显然是不可取的.解法1灵活运用平面几何等知识巧妙地解决了问题.解法2更是抓住了选择题的本质特征，运用特殊化思想，轻而易举地解决了问题.由题意，不论点M在椭圆上的何种位置（只要与、不共线即可），的值总是定值，即结论对一般情形成立，故对其中的特殊情形M为椭圆与正半轴的交点时也应当成立，从而排除特殊情形下不成立的选择支，进而得出正确答案.充分显示了运用特殊化思想解某些选择题的优越性.拓展对此题作研究，可得下面的定理1设、是椭圆的左，

6、右焦点，点在此椭圆上，且点、、不共线，椭圆的离心率为，则（1）的内心内分的平分线PM所成的比是定值.（2）的与边相切的旁切圆的圆心横坐标为定值；的与边相切的旁切圆的圆心外分的平分线的比为定值.（3）由焦点向的的外角平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，为半径的圆上.图3xPyIF1OMF2证明（1）如图3，设I为的内心，连接、，则在及中由角平分线定理得，所以.图4xPyI.RF1OF2NM（2）如图4，设旁切圆圆心为，M、N、R为切点，则，，图5xPyRF1OF2Q为定值.同样的方法可以证明与的边相切的旁切圆的圆心横坐标为定值.如图5，设交与.由外角平分线定理得,由合比定理得图6

7、xByOAPF1F2，.（3）如图6，过作的外角平分线的垂线，为垂足，延长交的延长线于，则，.由椭圆定义可知，故.又，∥且，所以.垂足A在以O点为圆心，为半径的圆上.若将定理1中的椭圆该为双曲线，又得定理2设、是双曲线的两个焦点，点P在此双曲线上，且点、、不共线，双曲线的离心率为，则（1）的内心横坐标是定值，且当点在左支上时，定值为；当点在右支上时，定值为.（2）的与边（或与边）相切的旁切圆的圆心分的外角平分线的比为定值；的与边相切的旁切圆的圆心横坐标为常数（当点在右