第五课时 向量的数乘（二）

《第五课时 向量的数乘（二）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第五课时向量的数乘(二)教学目标：掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.教学重点：实数与向量积的运用.教学难点：实数与向量积的运用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.证明：因为E、F为DC、AB的中点，∴＝，＝，

2、由向量加法法则可知：＝＋＝＋，＝＋＝＋.∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝－，＝－，∴＝－－＝－(＋)＝－∴∥，∴AE∥CF［例2］已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，证明AO＝OC，BO＝OD.分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明：∵A、O、C三点共线，B、O、D三点共线，∴存在实数λ和μ，使得＝λ，＝μ.设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a∴＝λ(a＋b)，＝μ(b－a).又∵＋＝，∴a＋μ(b－a)＝λ(a＋b)，即-6-(1－μ－

3、λ)a＋(μ－λ)b＝0，又∵a与b不共线，由平面向量基本定理，，∴μ＝λ＝，∴AO＝AC，BO＝BD，即AO＝OC，BO＝OD.［例3］已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝(PA＋PB＋PC).证明：如图，设△ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM＝3GM，由向量中线公式有：＝(＋)，＝(＋)，∴＋＝(＋)①同理可得＋＝(＋)②＋＝(＋)③由式①＋②＋③得：2(＋＋)＝(＋＋＋＋＋)＝0∴＋＋＝0∴3＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋)＋(＋＋)＝＋＋∴PG＝(P

4、A＋PB＋PC).［例4］AD、BE、CF是△ABC的中线，若直线EG∥AB，FG∥BE.求证：ADGC.证明：如图，因为四边形BEGF是平行四边形.所以＝-6-又因为D是BC的中点，所以＝，所以－＝－，所以＝(＋)＝＋＝＋＝所以ADGC.［例5］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F，求证：｜AB－CD｜≤EF≤(AB＋CD).证明：如图，∵＝＋＋，＝＋＋，∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋)∵E、F分别是AC、BD的中点，∴＋＝0，＋＝0，∴＝(＋)又∵｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜

5、｜，∴｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤(｜｜＋｜｜)，即｜AB－CD｜≤EF≤(AB＋CD).Ⅲ.课堂练习课本P68练习1，2，3.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业课本P69习题9，10，12，13-6-向量的数乘1．已知ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设＝a，＝b，则向量BC等于（）A.2a＋bB.2a－bC.b－2aD.－b－2a2．若＝5e1，＝－7e1，且

6、

7、＝

8、

9、，则四边形ABCD是（）A.平行四边形

10、B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等3．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝－a－b②＝a＋b③＝－a＋b④＋＋＝0.其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.44．若O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于（）A.B.C.D.5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋7)a，则x＝，y＝.6．在△ABC中，＝，EF∥BC交于点F，设＝a，＝b，用a、b表示向量为.7．

11、若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则实数k的值为.8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.-6-9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.-6-向量的数乘答案1．D2．B3．C4．B5．6．－a＋b7．±18．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.证明：∵＋＋＋＝0，＋＋＋＝0∴＝＋＋，

12、＝＋＋两式相加，2＝＋＋＋＋＋∵＋＝0，＋＝0∴＝（＋）.9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.解：＝(b＋λa)10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.解：（1）∵P为中点，∴＝（b－a）∴＝a＋(b－a)＝(a＋b).(2)∵＝(b－a)∴＝a＋（b－a)＝(b＋2a).-6-