第24章 图形的相似小结复习

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图形的相似小结复习【知识梳理】1.两个相似三角形________的比值叫做相似比.若△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，则△A′B′C′与△ABC的相似比为______.当相似比为_______时，这两个三角形全等，全等三角形是______三角形.在用“∽”连接两个相似三角形时，应把________放在________的位置上.2.识别（判断）两个三角形相似可以利用：（1）_________________________________（2）如果两个三角形中有两个_______，这两个三角形相似.（3）如果两个三角形中有__________________且__________，这两个三角形相似.（4）当两个三角形中有_________，这两个三角形相似.3.相似三角形的基本性质是_____________，除此之外，相似三角形的对应_______，对应________，对应________，都等于相似比，对应周长的比等于________，面积的比等于__________.4.三角形的中位线平行于第三边，并且等于这边的一半；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.5.利用相似可以把一个图形_______或______，保持形状不变.如果两个图形不仅相似，而且________的连线都________，像这样的相似叫做位似.位似是由________和_________所决定的.6.两个位似图形的特点是：（1）对应边________，（2）对应顶点________，（3）两个图形是__________，这三点也是识别位似的依据.7.画位似图形的步骤：（1）确定_______；（2）把位似中心与________连线（或延长）；（3）根据________在所连直线上截取相应线段；（4）把所截各点用实线连接.8.平面内一点的位置可由一对_________来准确描述它的位置，但由于所确定的_______不同，该点的坐标不同；选择的单位长度不同，_________不同.我们还可以利用___________确定点的位置.利用方位角时，不能只指明方位，同时必须指出________与测量点的距离.9.E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 一个图形沿x轴（或平行于x轴的直线）平移m个单位，图形对应顶点________坐标不变；若向_______平移，其________坐标加m.若向_______平移，其_______坐标减m.一个图形沿y轴（或平行于y轴的直线）平移m个单位，图形对应顶点___________坐标不变.若向_______平移，其_______坐标减m；若向________平移，其_________坐标加m.10.关于x轴对称的两个图形对应顶点的坐标特点是_________，关于y轴对称的两个图形对应顶点的坐标特点是__________.如果一个图形绕原点O旋转180°，得到新图形的对应顶点的横坐标与原图形对应顶点的横坐标________，纵坐标__________.【典型例题】例1.如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC.分析：熟练掌握相似三角形的判定方法，进行尝试选择.解：结合判定方法补充条件为：∠1＝∠B或∠2＝∠C，或.例2.如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝7，AC＝6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为，试求AD、AE的长.分析：不要忘了分类!注意本题中AD可以和AB对应，也可以和AC对应.解：（1）当△ADE∽△ABC时，.∵AB＝8，AC＝6，∴AD＝2，AE＝.（2）当△ADE∽△ACB时，.∵AB＝8，AC＝6，∴AD＝，AE＝2.例3.（2006年苏州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB、BC的中点.EF与BD相交于点M.（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM.E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 分析：由条件易证得四边形CBED是平行四边形，利用对应边互相平行可证得三角形相似，再根据对应边的比相等进行计算.证明：（1）∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又∵AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形，∴CB∥ED，∴∠EDB＝∠DBF，∠DEM＝∠BFM，∴△DEM∽△BFM.（2）∵△DEM∽△BFM，∴.∵F是BC的中点，∴DE＝2BF，∴DM＝2BM，∴BM＝DB＝×9＝3.例4.某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在地带种植单价为10元/米2的太阳花，当地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在地带种植同样的太阳花，资金是否够用?并说明理由.分析：可以通过面积大小的对比计算一下，若继续在地带种同种太阳花所需资金是否超过2000元即可.解：梯形ABCD中，AD∥BC∽，AD＝10，BC＝20∵，E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 还需要资金200×10＝2000（元），而剩余资金为2000－500＝1500＜2000，所以资金不够用.例5.两个全等的含，角的三角板和三角板如图所示放置，、、三点在一条直线上，连结，取的中点，连结，，试判断的形状，并说明理由．分析：当梯形中有腰的中点时，常常考虑再取另一腰的中点构造梯形中位线去解决问题.解：的形状是等腰直角三角形．理由：取CE的中点N，连结MN.∵M是BD的中点，∴MN∥DE，MN＝（DE＋BC）.∵∠DEA＝90O，∴MN⊥EC，∴ME＝MC.∵DE＝AC，AE＝BC，∴MN＝（AC＋AE）＝EC，∴是直角三角形.即的形状是等腰直角三角形.例6.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答.位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质.设荧屏距镜头为xcm，由题意可得，解得（cm）即（m）.答：荧屏应拉在离镜头m的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏.例7.下列说法中不正确的是（）A.位似图形一定是相似图形；B.相似图形不一定是位似图形；C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行分析：本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以D错误.例8.在AB＝30m，AD＝20m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路.（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由.（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由.分析：因为矩形每个角都为90°，所以判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等.解：①当x≠0时，，故矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似②当时，是矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，所以，解得＝例9.（2006年德州市）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 设BD＝x，CE＝y.（1）如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由.分析：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系.解：在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°，∠ABD＝∠ACE＝105°.又∠DAE＝105°，∴∠DAB＋∠CAE＝75°.又∠DAB＋∠ADB＝∠ABC＝75°，∴∠CAE＝∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y＝.当α，β满足β－＝90°，y＝仍成立.此时∠DAB＋∠CAE＝β－α，∴∠DAB＋∠ADB＝β－α，∴∠CAE＝∠ADB.又∵∠ABD＝∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y＝.例10.阅读下面的短文并回答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）.设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则.（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A.两个球体B.两个圆锥体C.两个圆柱体D.两个长方体E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于__________；②相似体表面积的比等于________________；③相似体体积的比等于________________________.（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米.问他的体重是多少（不考虑不同时期人体平均密度的变化）?分析：（1）球面上任一点到球心的距离都等于半径，球的表面积与半径的平方成正比，球的体积与半径的立方成正比，且球的三视图是全等的圆，故球体一定是相似体；（2）从题目的内容看，两个相似体的相似比为a：b，则表面积的比是相似比的平方，体积比是相似比的立方；（3）人体的体重与体积和密度有关，不考虑密度的情况下，体重与体积成正比，体积的比等于相似比（人体身高的比）的立方.解：（1）A.（2）①相似比.②相似比的平方.③相似比的立方.（3）设他的体重是xkg，则根据题意得，得x＝60.75（kg）.赏析：将“相似”的概念从平面扩展到空间后，情况会发生什么变化呢?实际上这也不是个很复杂的问题，因为阅读材料中明确地告诉我们：相似体的“一切对应线段之比都等于相似比”.重要的信息它就明摆在那儿，就看你能否收集到它，并加以分析处理，从而用以解决问题.【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交对角线AC，BD于M，N两点，若EF＝18cm，MN＝8cm，则AB的长是（）A.10cmB.13cmC.20cmD.26cm2.如图所示，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形（）.A.4对B.5对C.6对D.7对3.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（）.E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 A.4.如图，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝，则此三角形移动的距离PP′是（）.A.B.C.1D.－15.如图，小明想用皮尺测量池塘A，B之间的距离，但现在利用皮尺无法直接测量到这一距离.学习了数学的有关知识后，他想出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CD＝a，由此他就知道了AB间的距离是（）.A.aB.2aC.aD.3a6.如图，已知△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，则S△ABC：S△DBE＝________.7.由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的______.8.如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，请你建立适当的直角坐标系，并写出A、B、C各点的坐标.9.某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，请建立适当的直角坐标系并写出四个超市相应的坐标.E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 10.方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”.图中的△ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）.（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标.（2）把△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标.（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB3C3的图形.11.如图，李华晚上在路灯下散步，已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O’P′＝L，两灯柱之间的距离OO′＝m.（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他的影子AC的长.（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA＋AC）是否是定值？请说明理由.E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 【试题答案】1.D点拨:AB＝2MF，MF＝MN＋NF，则NF＝（EF－MN）÷2＝5cm，MF＝13cm，AB＝26cm.2.C点拨:本题考查对相似三角形的判定和识图能力，由已知△BFH∽△BAG，△BFH∽△CDH，△BFH∽△CEG，△BAG∽△CEG，△BAG∽△CDH，△GCE∽△HCD.共6对.3.C4.D点拨:本题涉及平移与相似三角形的性质，平移后重叠三角形与△PQR相似，且面积比为1:2，则边长比为1:，P′Q＝1，则PP′＝－1.5.B点拨:∵CD是OA，OB的中点，∴△OCD与△OAB相似比为1:2.6.9:16点拨:利用相似三角形的性质，.7.点拨:中位线围成的三角形的各边长是原三角形边长的.8.答案不唯一，可以是以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴.∵∠BAC＝120°，AB＝AC，故y轴必经过A点，∠BCA＝∠ABC＝30°，BO＝OC＝BC＝2，在Rt△AOC中，利用勾股定理得A（0，），B（－2，0），C（2，0）.9.答案不唯一，例如，以D为坐标原点，建立直角坐标系，各点相应的坐标为A（10，7），B（6，－1），C（－2，5），D（0，0）.10.（1）画出△A1B1C1的图形，如图所示，点B1的坐标为（－9，－1）.（2）画出△A2B2C的图形如图所示，点B2的坐标为（5，5）.（3）画出△AB3C3的图形如图所示，答案不唯一.11.（1）由已知:AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546 （2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴＝，∴AC＝·OA，同理可得DA＝·O′A.∴DA＋AC＝（OA＋O′A）＝是定值.E-mail：ludiyong2008@126.comQQ：756163546