二次型和对称矩阵

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1、9.1二次型和对称矩阵定义1：设是一个数域，上元二次齐次多项式叫做上一个元二次型，简称二次型。例1、判断下列各式是否为二次型：（1）式可写成以下形式：令，利用矩阵乘法，则（2）可写成：其中为对称矩阵，称为二次型的系数矩阵，简称为的矩阵，并把矩阵的秩称为二次型的秩。例2、写出下列二次型的矩阵:例3、写出下列方阵对应的二次型：如果对二次型（3）的变量实施如下变换：，那么就得到一个关于的二次型。（4）式称为变量的线性变换。令是（4）的系数所构成的矩阵，则（4）可以写为将和代入（3），得矩阵称为线性变换（4）的矩阵。如果是非奇异（可逆）的，就称（4）是一个非奇异线性变换（非退化线性替换或满秩线性代换

2、）。因为A是对称矩阵，所以所以也是对称矩阵。于是有：定理9.1.1：设是数域上的一个以A为矩阵的元二次型。对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后得到的二次型的矩阵为。例4、求对二次型的变量施行线性变换后得到的二次型。推论9.1.2：一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。定义2：设是数域上的两个阶矩阵。如果存在上的一个阶非奇异（可逆）矩阵，使得,则称与合同。矩阵合同的性质：1）自反性：任意矩阵都与自身合同。2）对称性：若与合同，则与也合同。3）传递性：若与合同，与合同，则与合同。结论：合同矩阵的秩相等，且与一个对称矩阵合同的矩阵也对称。定义:若上一个二次型可通过非奇异线性变换变为

3、上的另一个二次型，则这两个二次型等价。定理9.1.3：数域上两个二次型等价它们的矩阵合同。等价的二次型的秩相同。定理9.1.4：设是数域上的一个阶对称矩阵，则总存在上的一个阶非奇异矩阵，使得。即：上每一个阶对称矩阵都与一个对角形矩阵合同。为对称矩阵，求一个可逆矩阵，使得是对角形的方法：.例5、设，求一个可逆矩阵，使得是对角形。定理9.1.5：数域上每一个元二次型，可通过变量的非奇异线性变换化为：（标准形或对角形）其中，。例6、用非退化线性替换将二次型化为标准形。补充作业：用非奇异线性变换将下列二次型化为标准形：。