实对称矩阵与二次型

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3、                                                    则                                                      2.证明对于任意的可逆实矩阵，恒有上三角正线矩阵，使为正交矩阵。证明：可逆实矩阵是实的列满秩矩阵，故有本节的命题3知，有上三角正线矩阵，使的列向量组为标准正交向量组，所以为正交矩阵。 　§6.2实对称矩阵的标准形（一1.求正交矩阵，使为对角矩阵，其中为.解：的特征多项式为                      

4、   故的特征根为1，3，7。下面求它们对应的一个特征向量：解方程，可得它的一个解为；解方程，可得它的一个解为；解方程，可得它的一个解为。把它们分别正交化得：                          令，则即为所求的正交矩阵。   　   2．将上题中的矩阵化为规范形，并求出合同变换矩阵。解：于是的规范形为，合同变换矩阵。                                                                        3.设是阶实对称矩阵，如果对任意维列向量都有，则。 

5、  证明：对任意的，有。取，有，即；再取，有，而                                    于是有，而是对称矩阵，故，所以。   4．设为三阶实对称矩阵，且满足，求的两个边准形。解：由知满足方程，故的极小多项式。因为实对称，特征根均为实数，极小多项式在实数域上可分解到一次式，而是实数域上的质式，所以，即，于是的法式为                          　的特征根为，从而在正交变换下的标准形为的规范形为。                                        

6、                                                                             ）                                                       §6.3二次型，正定矩阵与恒定型（一）1.将下列二次型化成规范形，并求出所用的可逆线性变换：   解：       　令，再令，则得规范型为，　　　而这里的就是所要求的可逆线性变换。   2.若为正定矩阵，则亦为正定矩阵。   证明：正定，则有非奇异矩阵使得，那么

7、                              令，则非奇异，而，所以正定。   3．若为半正定矩阵，则＞1。证明：为半正定，故有正交矩阵使得                  这里是的特征根，，于是                                                                            而不全为零，否则，因此＞1。4.若为半正定矩阵，为正定矩阵，则＞。  证明：由于为正定矩阵，故存在非奇异矩阵，使得所以即.又因为，所以亦为半正定矩阵，由上题知＞1.而

8、                    ＞1故 ＞。   5．若矩阵正定矩阵，则亦为正定矩阵。证明：若为正定矩阵，则其为实对称矩阵。故所以,                  即为对称矩阵。取非奇异矩阵则                           为正定矩阵，显然其子块亦为正定矩