对称矩阵与二次型

《对称矩阵与二次型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、Ch5、对称矩阵与二次型二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵§1、二次型及其标准形定义1：二次齐次函数称为二次型。令，则记，则，故“二次型与一个对称矩阵一一对应”。例如，二次型的矩阵。定义2：称为二次型的标准形(其矩阵为对角形)，其中的正(负)系数的个数称为二次型的正(负)惯性系数。例5.1将二次型写成矩阵表示形式。解：f的系数矩阵为故f的矩阵形式表示式为问题：如何求可逆线性变换将二次型化为标准形。解：令则线性变换记为。，显然，当为对角形时，f即为标准形。故问题可转化为“对对称阵，求一可逆阵C，使为对角形”。将Ch4§4中定理11“若A对称，则必有正交阵P，

2、使即为对角阵”应用于二次型，则有如下定理：定理1：对于二次型，总有正交变换x=Py，将f化为标准形，其中为A的特征值。参考题1、求正交变换x=Py，将化为标准形。解：f的矩阵为时，，令，则，，。时，,令,则，，。时，，,令,则，，，故所求正交变换为x=Py，标准形为。例5.2已知二次型的秩为2，求参数。解：二次型f的矩阵为由于f的秩为2，即，故，即解得。显然，A中左上角的二阶子式非零，故时，。例5.3求一个正交变换，将二次型化为标准形，并指出表示何种二次曲面。解：二次型f的矩阵由于故矩阵A的特征值为，各特征值对应的线性无关的特征向量分别为由于A的三个特征值互

3、异，故两两正交，将其单位化，得故为正交矩阵，且作正交变换，即原二次型可化为由于方程在在三维空间中表示椭圆柱面，二正交变换不会改变几何特征，故也表示椭圆柱面。例5.4求一个正交变换，将二次型化为标准形。解：二次型f的矩阵为由于故矩阵A的特征值为。当时，解方程组，即因为得到同解的线性方程组为基础解系为故特征值对应的线性无关的特征向量为将正交化，得再单位化，得当时，解方程组，即由于同解的方程组为基础解系为故特征值对应的线性无关的特征向量为将单位化，得，故为正交矩阵，且作正交变换即故原二次型可化为。例5.5求可逆变换化二次型为标准形，并写出所作的变换矩阵。解：由于f

4、含x1的平方项，将含x1的项归并进行配方，得令即则二次型化为。所用变换矩阵为显然P可逆，但P不是正交矩阵。§2、正定二次型与正定矩阵定义3：若对任何，都有，则称f为正定(负定)二次型，并称矩阵A为正定(负定)的，记为A>0(A<0)。定理2：n元二次型正定其标准形中的n个系数全为正，即f的正惯性系数为nf的个特征值全为正。定理3：(1)对称矩阵A正定(正定)的各阶主子式全为正，即(2)对称矩阵A负定(负定)的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，即参考题2、判定二次型的正定性。解：f的矩阵为。故f负定。参考题3、k为何值时，二次型正定。解：f的矩阵为。，故k>

5、2时，f正定。定理4:若A,B正定，则均正定。定理5：若A正定(负定)，则其对角元全大于(小于)零。例5.7若为正定二次型，则t应满足什么条件？解：二次型f的矩阵为由于当二次型f正定时，必有，故。例5.8判别二次型的正定性。解：二次型f的矩阵为由于故二次型f是负定二次型。例5.9设A是三阶实对称矩阵，E为三阶单位矩阵，满足A2+2A=0，已知r(A)=2，问当k取何值时，矩阵A+kE为正定矩阵。解：设λ为矩阵A的特征值，对应的特征向量为α，则于是有由条件A2+2A=0，且特征向量，故，解得。因此矩阵A的特征值λ必取值0与−2。由于实对称矩阵A满足r(A)=2

6、，则矩阵A可对角化，且矩阵A只有两个非零特征值，所以矩阵A的全部特征值为，而矩阵A+kE的全部特征值为。矩阵A+kE为正定矩阵的充分必要条件是其特征值全大于零。所以当k>2时，矩阵A+kE为正定矩阵。