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1、Ch5二次型如在平面解析几何中,配方：是椭圆.二次曲线的一般方程为:令得其中不全为零.如在空间解析几何中,配方：是球面.二次曲面的一般方程为:其中不全为零.定义5.1(一)§5.1基本概念含有n个变量的二次齐次多项式其中称为一个n元二次型,简称为二次型.二次型及其矩阵当是实数时,称为实二次型.本章只讨论实二次型.令其中A为对称矩阵.对称矩阵A称为二次型的矩阵如它的矩阵为矩阵A的秩称为二次型的秩.如此二次型的矩阵为是对称矩阵.如对应的矩阵为是对称矩阵.的矩阵为的矩阵为二次型对称矩阵的矩阵为反之，设
2、A是任一对称矩阵故二次型可以用矩阵的形式表示：对称矩阵A二次型对称矩阵A二次型为二次型为矩阵A对应的二次型的矩阵例如对称矩阵==又如又如:A为对称矩阵,A对应的二次型为:A对应的二次型为:又如A对应的二次型为:给定一个n元二次型反之,二次型和对称矩阵一一对应.就可得到唯一的n阶对称矩阵A,A为该二次型的矩阵,二次型就可得到唯一A就是此二次型的矩阵.A的秩称为该二次型的秩。的n元二次型可写为给定一个n阶对称矩阵A,例二次型对应的矩阵为对二次型存在许多矩阵B,C,F,…使得但只存在一个对称矩阵A,使
3、得在平面解析几何中,所表示的曲线的性态，使曲线方程化为作转轴变换方程化为：整理得此方程只含x,y的平方项,从x,y到x’,y’的线性替换（二）线性替换双曲线.为了解二次方程用转轴变换标准形矩阵的合同定义5.2称为由变量线性替换(5.3)称为线性替换(5.3)(5.3)和具有如下关系的线性替换.到可以用矩阵形式表示的矩阵.设两组变量(5.3)称为此时C-1存在当C是正交矩阵时,称为线性替换X=CY的称线性变换X=CY为正交替换.或可逆线性替换.(5.3)非退化的线性替换.逆替换.例如转轴变换为由变
4、量x,y到x’,y’的线性替换.此线性替换是正交替换.也是正交替换.是正交矩阵,也是可逆线性替换,Q可逆,其逆变换为给定二次型设该二次型化为:证则对称，经过线性替换定理5.1二次型(其中A对称)经过可逆线性替换得到以B为对称矩阵的二次型则且证线性替换可逆，即矩阵C可逆，经过k次列变换再经过k次行变换其中为初等矩阵.定义5.3定理如果存在n阶使得则称矩阵A与B合同,原二次型的矩阵合同。A与B合同,A与B相似记为存在可逆矩阵C,存在可逆矩阵P,如果C是正交矩阵,此时则B与A既相似又合同.可逆矩阵C,
5、设A,B是两个n阶矩阵,经过非退化线性替换,与新二次型的矩阵则若B=CTAC记为A~B记为A~B使得使得CTAC=B,它具有如下性质:（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：“合同”是矩阵之间的一种关系,则则对任意方阵A，若若A~AB~AA~BA~BB~CA~C有作业P19617（1）（3）P2291，2
