对称矩阵与二次型.ppt

《对称矩阵与二次型.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、对称矩阵及其性质一个对称矩阵是一个满足AT=A的矩阵A，这种矩阵当然是方阵，它的主对角线元素是任意的，但其他元素在主对角线的两边成对出现定理1、实对称矩阵的特征值都是实数.定理2、实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的.证假定A是实对称矩阵从是它的特征值，x是属于λ的特征向量，定理3、一个nxn矩阵A可正交对角化的充分必要条件是A是对称矩阵.矩阵A的特征值的集合有时称为A的谱定理4(对称矩阵的谱定理)一个对称的nxn矩阵具有下面特性:A有n个实特征值，包含重复的特征值.对每一个特征值，代数重数等于几何重数.特征空间相互正交，这种

2、正交性是在特征向量对应不同特征值的意义下成立的.A可正交时角化.二次型R”上的一个二次型是一个定义在Rn上的函数，它在向量x处的值可由表达式Q(x)=xTAx计算，此处A是一个nxn对称矩阵，且矩阵A称为关于二次型的矩阵二次型的变量代换可以将二次型代数表达式中的交叉项消去，从而简化表示定义一个二次型Q是:a.正定的，如果对所有x≠0，有Q(x)>0b.负定的，如果对所有x≠0，有Q(x)<0c.不定的，如果对所有x≠0，Q(x)既有正值又有负值.二次型的分类定理2(二次型与特征值)设A是nⅹn对称矩阵，那么一个二次型是正定的当且仅当A的

3、所有特征值是正数;负定的当且仅当A的所有特征值是负数;不定的，当且仅当A既有正特征值，又有负特征值.二次型的条件优化考虑二次型Q(X)=XTAX在单位球面上的最大和最小值问题奇异值分解奇异值分解奇异值分解算法简介奇异值分解的应用1、用来获得特殊子空间的正交基，任意矩阵的秩等于其非零奇异值的个数奇异值分解的简化和A的伪逆及其应用2、在数据处理中的应用观测矩阵是指以观测对象的属性为行以观测次数为列所形成的矩阵，例如下例是n个学生身高和体重两个属性的观测矩阵遥感卫星图像处理这样的协方差矩阵S反映p个属性之间的关联关系主成分分析图像处理实例分析