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1、第九章二次型9.1二次型和对称矩阵9.2复数域和实数域上的二次型9.3正定二次型9.4主轴问题9.1二次型和对称矩阵一.内容分布9.1.1二次型及矩阵9.1.2线性变换9.1.3矩阵的合同9.1.4二次型的标准形二.教学目的1.掌握二次型及其矩阵的定义以及矩阵的合同2.理解关于二次型的线性变换3.了解二次型的标准形三.重点难点:合同、线性变换、二次型的标准形引言:在解析几何中,我们学过了二次曲线和二次曲面的相关理论.例如以原点为中心的二次曲线一般方程为为了更方便地研究二次曲线,需要将二次曲线化为标准方程,因而要通过坐标变换来实现把(1)代入一般方程得标准方程,是一个不错的方法,
2、但是,如果类似这样的方程不是平面上的,甚至是在任意欧氏空间中的,我们如何去化它为标准形呢?(1)9.1.1二次型及矩阵定义1设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式（1）叫做F上的一个n元二次型.F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函数，二次型（1）定义了一个函数所以n元二次型也叫n个变量的二次型.在（1）中令aij=aji(1≤i,j≤n),因为所以（1）式可以写成以下形式：（2）是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称为二次型的矩阵.因为,所以A是F上的一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法,（2）式可以写成（3）二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩.9.1.2线性变换如果对二次型（
3、3）的变量施行如下的一个变换：（4）那么就得到一个关于的二次型（4）式称为变量的线性变换，令是（4）的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成（5）将（5）代入（3）就得到（6）矩阵P称为线性变换（4）的矩阵.如果P是非奇异的，就称（4）是一个非奇异线性变换.因为A是对称矩阵，所以也是对称矩阵.推论9.1.2一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变.注意:如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立.(见P358反例)定理9.1.1设是数域F上的一个以A为矩阵的n元二次型.对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是.9.1.3矩阵的合同定义2设A
4、，B是数域F上的两个n阶矩阵.如果存在F上的一个非异矩阵P，使得那么称B与A合同.矩阵的合同关系的性质：③传递性：如果，C与B合同，B与A合同那么C与A合同.①自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为I′AI=A②对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为由可以得出事实上，由可得Note:1)合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的.是数域F上两个n元二次型，它们的矩阵分别为A和B.如果可以通过变量的非奇异线性变换将，则B与A合同.反之，设B与A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使得.通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将.F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量
5、的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.2）定理9.1.3数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同.Note:等价的二次型具有相同的秩.定理9.1.4是数域F上的一个n阶对称矩阵.总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同.证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理.回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 容易看出，现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n=1时定理显然成立.设n>1，并且假设对于n–1阶对称矩阵来说，定理成立.是一个n阶矩阵.如果A=O，这时A本身就是对角形式.设,我们分两种情形来考虑.(a)设A的主对
6、角线上元素不全为零，例如.如果i≠1，那么交换A的第1列与第i列，再交换第1行与第i行，就可以把换到左上角.这样就相当于初等矩阵,再用 .于是的左上角的元素不等于零.因此，我们不妨设，用乘j行，就可以把第一行第j列和第j行第1列位置的元素变成零.A的第1列加到第j列，再用乘第1行加到第这相当于用右乘A，用左乘A.这样，总可以选取初等矩阵,使得这里是一个n–1阶的对称矩阵.由归纳法假设，存在n–1阶可逆矩阵使得取那么这里。(b)如果.由于A≠O，所以一定有某一个元素.把A的第j列加到第i列,再把第j行加到第i行,这相当于初等矩阵 右乘A.再用左乘A.而经过这样的变换后所得到的矩阵
7、第i行第j列的元素是.于是由情形（b）就归结到情形（a）.Note:在定理9.1.4的主对角形矩阵中，主对角线上的元素的一部分甚至全部可以是零。显然，不为零的的个数等于A的秩，如果秩A等于r>0，那么由定理的证明过程可以知给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理9.1.4的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一个可逆矩阵P，使有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形式时，I就化为P.例1设我们按定理9.1.2所给出的
