对称矩阵对角化方法-二次型及矩阵形式-标准型

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1、教学目的掌握二次型及标准型定义，掌握二次型的矩阵表达式，理解合同矩阵定义与性质，理解二次型化成标准型的基本原理和方法，会用配方法化二次型为标准型作业重点二次型化成标准型练习册第39页－41页第10题至第13题难点同上讲授方法讲练结合讲授内容主线对称矩阵对角化方法－二次型及矩阵形式－标准型、合同矩阵与性质－化标准型的基本方法－练习－配方法练习时间安排复习对称矩阵对角化方法：15分钟；二次型概念：15分钟；合同矩阵及性质：30分钟；二次型化标准型方法：35分钟；机动：5分钟班级：时间：年月日；星期第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型本次课讲完大纲规定全部内容，下次课进行全书总结

2、并讲授一套模拟训练题本次上课交作业P49—P50,T20可暂不做，课堂上讲第十五讲：配方法与正定二次型解:例1化二次型成标准型，并求所用的变换矩阵.一、配方法化标准型标准型为:令即第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型例2化二次型成标准型，并求所用的变换矩阵.解令即就把f化成标准形所用变换矩阵为（

3、P

4、=1≠0）第十五讲：配方法与正定二次型二、正定二次型的概念定理11设有实二次型,它的秩为r，有两个实可逆变换及使及则中正数的个数与中正数的个数相等.这个定理称为惯性定理.1.惯性定理：第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型该定理说明了：（1）二次型的标准形不是

5、唯一的，但标准形中所含的项数是确定的（即是二次型的秩）。（2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也不变（3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知，一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯性指数2.正定二次型的定义：定义9设有实二次型,如果对任何，都有f>0（显然f(0)=0），则称f为正定二次型，并称对称矩阵A是正定的；如果对任何，都有则称为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的.三、正定二次型的判定方法：1.标准型系数法：定理12实二次型f

6、正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正.第十五讲：配方法与正定二次型推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。3.主子式判定方法：（1）什么是主子式2.特征值判定方法第十五讲：配方法与正定二次型（2）主子式判定定理定理13对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即例4:判断二次型是否正定解:所以正定第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型4.负定判定方法：对称矩阵A为负定的

7、充分必要条件是：A的奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即这个定理称为霍尔维茨定理.例5判别二次型的正定性.解所以f为负定的.第十五讲：配方法与正定二次型例6设二次型是正定的,则().解:第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型解设由于实对称矩阵对于不同特征值对应的特征向量互相正交,则对应于的特征向量满足方程:即得基础解系第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型课程与教材的基本结构矩阵及其基本运

8、算线性方程组秩的解法特殊矩阵：向量及其运算方程组解的向量结构综合应用矩阵对角化基础目标1平台目标2应用第十五讲：配方法与正定二次型模块1：基础部分——矩阵及其预算矩阵运算常规运算特有运算加法：同型数乘：全幂：方阵不交换不消去不化零行列式：方阵初等变换等同于乘初等矩阵补充2初等变换等同于乘可逆矩阵第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型模块2：目标1——线性方程组秩的解法线性方程组秩的解法第十五讲：配方法与正定二次型向量的正交与规范正交基向量空间的基与坐标最(极)大无关组与向量组的秩向量组与矩阵整体部分判定维数大于个数关系定理定义与等价定义关键：线性表示所有向量矩阵的秩等于向量组

9、的秩不唯一性，等价的组秩相等线性运算封闭齐次方程解为例基：最大无关组坐标：线性表示系数n维空间中任意n个无关向量构成基内积与长度施瓦茨不等式正交向量组的线性无关性无关组化正交基的施密特方法模块3：平台第十五讲：配方法与正定二次型模块四：目标2——方程组解的结构线性方程组解的结构性质：线性运算封闭注意：齐次通解用齐次方程组Ax=0的同解方程组；非齐次特解要用非齐次方程组Ax=b的同解方程组第十五讲：