实对称矩阵的标准型课件.ppt

《实对称矩阵的标准型课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§9.6实对称矩阵的标准形（一）引言一、实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量满足其中为的共轭复数，令又由A实对称，有由于　是非零复向量，必有故考察等式，引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间　上定义一个线性变换　如下：则对任意　　　　　有或证：取的一组标准正交基，则　在基　下的矩阵为A，即任取即于是又　　　　是标准正交基，即有又注意到在　中二、对称变换1．定义则称　为对称变换．设　为欧氏空间V中的线性变换，如果满足1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：2．基本性质①实对称矩阵可确定一

2、个对称变换．一组标准正交基．事实上，设为V的定义V的线性变换　：则　即为V的对称变换．②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．为V的一组标准正交基，事实上，设　为n维欧氏空间V上的对称变换，为在这组基下的矩阵，即或于是即所以A为对称矩阵．由　是对称变换，有2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．对任取即证明：设　是对称变换，W为　的不变子空间．要证即证由W是　子空间，有因此故　也为　的不变子空间．1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于的特征向量．则三、实对称矩阵的正交相似对角化是正交的．正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵A为　上对称变换　的在

3、标准是A的两个不同特征值，由又即正交．(定理7)对　　　　　　　总有正交矩阵T，使有即２．证：设A为　上对称变换　在标准正交基下的矩阵．由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可．n=1时，结论是显然的．对　的维数n用归纳法．有一单位特征向量，其相应的特征值为，即假设n－1时结论成立，对设其上的对称变换设子空间显然W是　子空间，则也是子空间，且又对　　　　　　　有所以　　是　上的对称变换．由归纳假设知有n－1个特征向量构成的一组标准正交基．从而　　　　　　　就是　的一组标准正交基，又都是的特征向量．即结论成立．3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设(

4、i)求出A的所有不同的特征值：其重数必满足;(ii)对每个，解齐次线性方程组求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值的特征子空间　的一组基．正交基把它们按正交化过程化成　的一组标准(iii)因为互不相同，且就是V的一组标准正交基．所以则T是正交矩阵，且将的分量依次作矩阵T的第1，2，…，n列，使　　　　　　为对角形．例1．设求一正交矩阵T使成对角形．解：先求A的特征值．A的特征值为（三重）,其次求属于的特征向量，即求解方程组得其基础解把它正交化，得再单位化，得这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间　的一组标准正交基．再求属于　　　的特征向量，即解方程组得其基础解再单

5、位化得这样　　　　　构成　的一组标准正交基，它们都是A的特征向量，正交矩阵使得四、小结五、作业P391，17,1）2）