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1、教学目的理解矩阵的定义及不变因子掌握用初等变换的方法化矩阵为Smith标准形理解行列因子、初等因子及相关理论掌握求矩阵的Jordan标准形的方法了解Cayley-Hamilton定理第三章矩阵与矩阵的Jordan标准形（-matrixandJordanCanonicalForm）标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵
2、”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！预备知识：若存在多项式h()，使得f()=d()h()，称d()整除f()，用d()
3、f()表示；设f()与g()为数域P上的两个一元多项式，若存在d()满足d()
4、f()，d()
5、g()，称d()为f()与g()的公因式；若f()与g()的任一公因式都是d()的因式；称d()为f()与g()的最大公因式，并
6、用（f()，g()）表示f()与g()的首项系数为1的最大公因式.§2矩阵及其在相抵下的标准型由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也大了。定义1元素为的多项式的矩阵称为-矩阵，记为A()。即A()=(aij())mn(i=1,2,…m;j=1,2,..
7、n),其中aij()是数域P上的多项式。多项式aij()的最高次数称为A()的次数，数域P上全体mn的-矩阵记为P[]mn.注：数字矩阵是-矩阵的特例。数字矩阵A的特征矩阵I-A是1次-矩阵。1.矩阵的基本概念矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵的对应运算有相同的运算定律。数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质相同。n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足
8、A()B()
9、=
10、A()
11、
12、B()
13、定义2设A()P[]mn，如果A()中有一个r阶子式不为零
14、，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为rank(A())=r数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是满秩的。矩阵的秩定义3设A()P[]mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得A()B()=B()A()=I则称A()可逆，B()为A()的逆矩阵记作A()-1。定理1设A()P[]mn，A()可逆的充要条件是
15、A()
16、是非零常数。矩阵的逆矩阵的初等变换定义4初等变换(1)对换两行（列）；(2)某行（列）乘上非零的常数k；(3)某一行(
17、列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵;(2)初等矩阵都是可逆的：P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i,j())-1=P(i,j(-))相抵（等价）定义5设A(),B()P[]mn，若A()经有限次行、列初等变换化为B(),称A()与B()相抵（等价），记为A()B()定理2设A(
18、),B()P[]mn，A()与B()相抵的充要条件是存在m阶初等矩阵P1(),P2(),…Pl(),与n阶初等矩阵Q1(),Q2(),…Qt(),，使得A()=Pl()…P1()B()Q1()Q2()…Qt()3.矩阵在相抵下的标准型定义6该标准型称为A()在相抵下的标准型或Smith标准型；称smith标准型“主对角线”上非零元d1(),d2(),dr()为A()的不变因子定理对任意一个秩为r的mn阶-阵A()，都相抵于一个标准型di()为
19、首项系数为1的多项式，且di()
20、di+1()例1求矩阵的Smith标准形解题思路：经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有的元素。解:不变因子：将其化成Smith标准形。例2解：§3矩阵的行列式因子和初等因子定义1设A()P[]mn，且rank(A())=r，对于正整数k(1≤k≤r),A()中的全部k阶子式的最大公因式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().定理1相抵的矩阵
