矩阵理论及应用-jordan标准型.ppt

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1、第六节矩阵的Jordan标准形一、—矩阵及其Smith标准形1、—矩阵以数域上的变量的多项式为元素的矩阵其中，是数域上的变量的多项式。例如：矩阵的特征矩阵就是一个—矩阵。10/7/20211电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形—矩阵的秩:不恒等于零的子式的最高阶数称为—矩阵的秩，记为例：—矩阵的逆:若两个阶的—矩阵和满足则称为可逆矩阵（或为单模矩阵），并称是的逆矩阵记为定理1.6.1—矩阵可逆的充要条件是是数域中的非零常数。10/7/20212电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形2、—矩阵的初等

2、变换三种初等变换为：（1）两行（或列）互换位置；（2）某行（或列）乘以不等于零的数；（3）某行（或列）乘以的多项式加到另一行（或列）。三种初等变换对应三个不同的初等矩阵（由单位矩阵作相应的初等变换即可得其对应的初等矩阵）初等矩阵都是可逆矩阵当对—矩阵进行行变换时，相当于左乘相应的初等矩阵；当对—矩阵进行列变换时，相当于右乘相应的初等矩阵，且施行初等变换不改变—矩阵的秩。10/7/20213电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形定义1.6.4（等价变换）若—矩阵经有限次初等变换化为—矩阵，则称与等价，记为。—

3、矩阵的等价关系与数字矩阵一样，满足自反性、对称性和传递性。3、—矩阵的标准形定理1.6.2任一非零的—矩阵都等价于一个如下形式的标准对角形—矩阵其中是的秩，是的首一多项式，且，将称为的Smith标准形。10/7/20214电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形例1.6.1求的Smith标准形。解：10/7/20215电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形例1.6.2已知矩阵，求特征矩阵的Smith标准形。解：10/7/20216电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形可以证明，在—矩阵的标准形

4、中，对角线上的非零元素不随矩阵初等变换而改变，称为的不变因子。4、—矩阵的行列式因子定义1.6.4设—矩阵的秩为，对正整数中，必有非零的阶子式，称中所有的阶子式的首一最大公因式为的阶行列式因子，记为。（行列式因子）10/7/20217电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形。由定义可知，一个阶—矩阵的阶行列式因子能整除任一个阶子式，而由行列式的展开可知一个阶行列式可表示为个阶子式的代数和，从而能整除任一个阶子式，因此，能整除，即定理1.6.3等价矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。由上述定理可以得到：可以

5、通过求的各阶行列式因子把化为Smith标准形。10/7/20218电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形例1.6.3已知矩阵，求其特征矩阵的Smith标准形。解：的特征矩阵为10/7/20219电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形于是有10/7/202110电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形5、—矩阵的初等因子将—矩阵的不变因子分解成各因式的乘积形式，即其中互异，且由不变因子的整除性，有所有指数大于零的因子都称为的初等因子；全部初等因子称为的初等因子组；其中称为与相当的初等因子组。10

6、/7/202111电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形例1.6.4已知矩阵，求其特征矩阵的不变因子、初等因子及Smith标准形。解：于是不变因子为初等因子组为Smith标准形为10/7/202112电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形由初等因子求不变因子的情况，主要应用于对角矩阵或分块对角矩阵的不变因子或Smith标准形的计算。设有分块对角—矩阵定理1.6.4则的初等因子组的全体就是的初等因子组。如：—矩阵其初等因子组为不变因子为Smith标准形为10/7/202113电子信息工程学院第六节矩阵

7、的Jordan标准形定理1.6.5与均为的—矩阵：（1）的充要条件是存在可逆的与使得（2）的充要条件是与具有相同的不变因子。（3）的充要条件是与具有相同的Smith标准形。（4）的充要条件是与有相同的各级行列式因子。（5）的充要条件是与有相同的秩和初等因子组。10/7/202114电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形二、矩阵的Jordan标准形1、Jordan形矩阵和Jordan块定理1.6.6设是复数域上的线性空间的线性变换，任意取的一个基，在该基下的矩阵为,（或）的特征多项式可分解因式为，,则可分解为

8、不变子空间的直和，其中是线性变换的核子空间。如果给每个子空间选择一个适当的基，每个子空间的基合并起来即为的基，且在该基下的矩阵为如下形式的准对角矩阵10/7/202115电子信息工程学院第六节矩阵的Jordan标准形其中形如上述形式的方阵称为Jordan形矩阵，其中方阵称为Jordan块。5阶的Jordan形矩阵，其中包含有三个Jordan块：10/7/20