第2章2-矩阵的Jordan标准型复习课程.ppt

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1、问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，能否找一最简单的矩阵与之相似？如何找。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第二章矩阵的Jordan标准型§2.1矩阵的Jordan标准型一.Cayley-Hamilton定理第二章矩阵的Jordan标准型凯莱[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)哈密尔顿[英]W.R.Hamilton(1805.8-1865.9)约当[法]M.E.C.Jordan(1838.1-1922.1)定理2.1.c()=

2、E–Ann

3、

4、则c(A)=O.注:c(A)=

5、AE–A

6、?

7、E–Ann

8、=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=n+an1n1+…+a1+a0=ntr(A)n1+…+(1)n

9、A

10、.c()=n+an1n1+…+a1+a0c(A)=An+an1An1+…+a1A+a0Ec(A)=OAn+an1An1+…+a1A=a0E=A(An1+an1An2+…+a1E)当A可逆时,a0=(1)n

11、A

12、0,于是A1=1a0(An1+an

13、1An2+…+a1E)A*=

14、A

15、A1=…则c(A)=An+an-1An-1+…+a0E=0。对于一般的n阶矩阵组成的集合，需要取出n2+1个才能保证是线性相关的。但是对于矩阵序列I,A,A2,A3…，按顺序取到第n+1个时，An一定可以被前面的矩阵线性表出。则An=-an-1An-1-…-a0E例1.已知A=122103112,求A100.解:c()=

16、E–A

17、=(+1)2(1).分别将=1,1代入上式得10099=(100)1=a+b+c,设100=c()g()+a2+b+c,1=a

18、b+c.=[c()g()+a2+b+c]=c()g()+c()g()+2a+b将=1代入上式得100=2a+b.于是可得a=50,b=0,c=49.=50A249E故A100=c(A)g(A)+50A249E=50即100=c()g()+50249,308214205490004900049=199040010012001000201.例1.已知A=122103112,求A100.A=011010112①c()=

19、E–A

20、=(1)3满足c(A)=

21、O②f()=(1)2=22+1满足f(A)=O.c()的次数为3f()的次数为2③不存在更低次数的多项式g()使得g(A)=O.A的化零多项式次数最低,首项系数为1例2.二.最小多项式1.定义:A的次数最低的最高次项系数为1的化零多项式称为A的最小多项式.2.性质:(1)A的最小多项式

22、A的任一化零多项式.(2)A的最小多项式是唯一的,记为mA()或简记为m().(3)则m(0)=0c(0)=0.(4)A~BmA()=mB().但反之未必!1100010000100002110001000020

23、0002例如:与的最小多项式都是(1)2(2),但是它们的特征多项式分别为因而这两个矩阵不相似.(1)3(2)和(1)2(2)2,定理定理例推论.设A,B分别为sn矩阵和nt矩阵,则r(AB)r(A)+r(B)n.引理.设A1,A2,…,As都是n阶方阵,且A1A2As=O,…则r(Ai)(s1)n.i=1sr(A1A2As)r(A1)+r(A2As)n………r(A1)+r(A2)+r(A3As)2n…r(A1)+r(A2)+…+r(As)(s1)n.三.最小多项式与对角化的关系

24、定理3.A相似于对角矩阵mA()没有重根.②对角阵的最小多项式没有重根.因而r(iEA)(s1)n,i=1s证明:()①相似的矩阵的最小多项式相同;()设mA()=(1)(2)…(s),则(1EA)(2EA)…(sEA)=O,故[nr(iEA)]n.i=1s定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。有个线性无关的特征向量。综合例3.若n阶方阵A满足A23A+2E=O,r(AE)=r,则行列式

25、A+3E

26、=____.解:A23A+2

27、E=O(AE)(A2E)=O存在可逆矩阵P使得P1AP=

28、A+3E

29、=

30、P1

31、

32、A+3E

33、

34、P

35、EnrOO2Er秩(AE)=r=

36、P1(A+3E)P

37、=

38、P1AP+3E

39、=4EnrOO5Er=4nr5r