jordan标准型λ-矩阵.ppt

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1、第2章：Jordan标准形介绍JordanCanonicalForm第2章：Jordan标准形介绍问题：对线性空间中的线性变换T，求一组基{1，2，，n}和矩阵J，使T:{1，2，，n}J矩阵J尽可能简单。矩阵J的结构对任何变换可行内容：首选A为对角形线性变换的对角化问题。建立J一般的结构Jordan标准形理论。Jordan方法及其应用方法：用矩阵的相似化简研究问题Jordan化方法重点：2.1线性变换的对角表示背景：T(12…n)=(12…n)一、变换T的

2、特征值与特征向量定义(p35，定义2.1)求解分析：(p35，定理2.1)(12…n)线性无关Ti=ii；L{i}是不变子空间(2.1)则称λ为T的特征值，并称为T的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。定义2.1设T是数域F上线性空间V的一个线性变换，如果存在F以及非零向量V使得设V是数域F上的n维线性空间，是V的一组基，线性变换T在这组基下的矩阵为A。如果λ是T的特征值，是相应的特征向量，则把它代入(2.1)，得由于线性无关，则特征向量的坐标x满足齐次线性方程组因为,所以,即齐

3、次线性方程组(2.4)有非零解。方程组(2.4)有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵行列式为零，即定义2.2设A是数域F上的n阶矩阵，是一个文字，矩阵称为A的特征矩阵，其行列式称为A的特征多项式。方程称为A的特征方程，它的根称为A的特征根（或特征值）。以A的特征值代入齐次线性方程组(2.4)所得的非零解x称为A对应于的特征向量。特征值作为特征方程的根的重数称为的代数重数.线性变换T与它在V的一组基下的矩阵的特征值是相同的.特征向量呢?A的特征值就是T的特征值A的特征向量是T的特征向量的坐标例题1

4、(p37，例题2.1)3、特征向量的空间性质特征子空间：特征子空间的性质：(p36，定理2.2)Vi是不变子空间ij，则ViVi={0}若i是ki重特征值，则1dimViki推论：若i是单特征值，则dimVi=1V1+V2++Vs=V1V2VsV1V2VsVn（F）设是线性变换T的任一特征值，记T线性变换T对应于特征值的特征子空间.则设是矩阵的任一特征值，记几何重数.定理2.1设F，则其中是A的所有k阶主子式之和,特别地定理2.2设

5、F，是A的特征值，则子式顺序主子式例1.设矩阵A在控制论中称为友矩阵或相伴矩阵，求A的特征多项式。解:记对di按第一行展开，有由上式逐次递推得定理2.3如果n阶矩阵A与B相似，则(1)A与B有相同的特征多项式；(2)A与B有相同的特征值；(3)tr(A)=tr(B).定理2.4设是线性变换T（或矩阵A）的r个互不相同的特征值，是对应于的特征向量，则线性无关。则为的特征值.对线性变换也有类似的结论.二、线性变换矩阵对角化的充要条件T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。dimVi=ndi

6、mVi=ki定理2.4(p39)T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。例题2已知{1，2，3}是空间V3（F）的基，T是空间上如下定义的线性变换，T（1）=1T（2）=22T（3）=1+t2+23讨论：t为何值，T有对角矩阵表示例题3证明幂等变换(T2=T)有对角矩阵表示。2.2Jordan矩阵介绍目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构----Jordan矩阵。一、Jordan矩阵Jordan块(p40，定义2.3)形式：确定因素：Jordan块矩阵的例子：值矩

7、阵的阶数例题1下列矩阵哪些是Jordan块？形式：Jordan矩阵举例特点元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan矩阵2Jordan矩阵3Jordan标准形定理2.5(p41)含义：Jordan矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB二、方阵A的Jordan标准形的求法目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA，使AP=PJA分析方法：在定理2.5的基础上逆向分析矩阵JA和P的构成。求法与步骤：矩阵A和JA的特征值相等细分矩阵Pi和

8、Ji，在Jordan块上，有Jordan链条{，y2，…，ynj}特征向量广义特征向量方法步骤：由特征值i的代数重数确定主对角线元素是的i的Jordan矩阵J(i)的阶数。由特征值i对应的线性无关的特征向量的个数确定J(i)中Jordan块的个数由特征向量求得的Jordan链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA例题1(p44，例题5)例题2(p45，例题6)例题3将矩阵A化为Jordan矩阵。例题4(p46，例题7)三、λ-矩阵及其