jordan标准型与矩阵可对角化(我的毕业论文)

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1、Jordan标准型与矩阵可对角化(我的毕业论文)安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文Jordan标准型与矩阵可对角化作者：徐朱城摘要指导老师：宛金龙本文以?-矩阵的性质为基础,对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻的结论——Jordan标准型定理.然后,应用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组求解的问题.关键词理矩阵对角化?-矩阵Smith标准型Jordan标准型Hamilton-Cayley定1引言n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.

2、那么当只有m(m?n)个线性无关的特征向量时,A与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与A相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题.Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例.此外,Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.2?-矩阵由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对?-矩阵的研究.

3、2.1?-矩阵及其标准型定义1称矩阵A(?)?(fij(?))为?-矩阵,其中元素fij(?)(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)为数域F上关于?的多项式.定义2称n阶?-矩阵A(?)是可逆的,如果有A???B????B???A????In安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文并称B(?)为A(?)的逆矩阵.反之亦然.定理1[1]矩阵A(?)可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即det(A(?))?c?0.证明：（1）充分性设A???=d是一个非零的数.A???表示A(?)的伴*随矩阵,则d?1A*???也是一个?

4、-矩阵,且有A???d?1A*????d?1A*???A????I因此,A(?)是可逆的.(2)必要性设A(?)有可逆矩阵B(?),则A???B????I两边取行列式有A???B????I?1由于A???与B???都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式,即都是非零常数.证毕.例题1判断?-矩阵??2+12??1???A???=???1???1???是否可逆.解虽然?2+12??1A???=??1?=??2???01A(?)是满秩的,但A???不是非零常数,因而A(?)是不可逆的.安庆师范学院数学与计算科学学院2015届

5、毕业论文注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.定义3如果矩阵A(?)经过有限次的初等变换化成矩阵B(?)，则称矩阵A(?)与B(?)等价,记为A????B???定理2矩阵A(?)与B(?)等价的充要与条件是存在可逆矩阵P???、Q???,使得B????P???A???Q???证明因为A????B???,所以A(?)可以经过有限次初等变换变成B(?),即存在初等矩阵P1(?),P2(?),?,Ps(?)与初等矩阵Q1(?),Q2(?),?,Qt(

6、?)使得B(?)?P1(?)P2(?)?Ps(?)A(?)Q1(?)Q2(?)?Qt(?)令P(?)?P1(?)P2(?)?Ps(?),Q(?)?Q1(?)Q2(?)?Qt(?)就是所要求的?-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.引理1设?-矩阵?a11(?)a12(?)?a1n(?)???a(?)a(?)?a(?)222n?A(?)=?21???????a(?)a(?)?a(?)m2mn?m1?的左上角元素a11(?)?0,并且至少有一个aij(?)不能被a11(?)整除,则一定可安庆师范学院数学与计算科学学院201

7、5届毕业论文以找到一个与A(?)等价的矩阵,它的左上角元素不为零,且次数比a11(?)的次数低.定理3任意m?n阶的?-矩阵A(?)都必定可以通过初等变换找到一个与之等价的Smith标准型.?d1(?)???d(?)2???????D?????dr(?)???0??????0???这里rank(A(?))?r.非零对角元d1(?),d2(?),?,dr(?)是首一（首项系数为1）多项式，并且di(?)

8、di?1(?)(i?1,2,?,r?1)例题2[2]求?-矩阵?1???A(?)????1+?2?的Smith标准型.解?2??2?

9、???????2???1?2?A(?)??0??1?2????1?2???????0????2???00?????????2????0??10??0?0??2?00??????即为所求的Smith标准型.2．2?-矩阵的性质矩阵A(?