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1、安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文标准型与矩阵可对角化作者：徐朱城指导老师：宛金龙摘要本文以-矩阵的性质为基础,对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻的结论——Jordan标准型定理.然后,应用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组求解的问题.关键词矩阵对角化-矩阵Smith标准型Jordan标准型Hamilton-Cayley定理1引言阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量.那么当只有个线性无关的特征向量时,与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与相似.这就引出了
2、矩阵在相似下的各种标准型问题.Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例.此外,Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.2-矩阵由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究.2.1-矩阵及其标准型定义1称矩阵为-矩阵,其中元素为数域上关于的多项式.定义2 称阶-矩阵是可逆的,如果有第21页共21页安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文并称为的逆矩阵.反之亦然.定理矩
3、阵可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即.证明：（1）充分性设是一个非零的数.表示的伴随矩阵,则也是一个-矩阵,且有因此,是可逆的.(2)必要性设有可逆矩阵,则两边取行列式有由于与都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式,即都是非零常数.证毕.例题1判断-矩阵是否可逆.解虽然是满秩的,但不是非零常数,因而是不可逆的.第21页共21页安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.定义3如果矩阵经过有限次的初等变换化成矩阵，则称矩阵与等价,记为定理2
4、矩阵与等价的充要与条件是存在可逆矩阵,使得证明因为,所以可以经过有限次初等变换变成,即存在初等矩阵与初等矩阵使得令,就是所要求的-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.引理1设-矩阵的左上角元素,并且至少有一个不能被整除,第21页共21页安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文则一定可以找到一个与等价的矩阵,它的左上角元素不为零,且次数比的次数低.定理3任意阶的-矩阵都必定可以通过初等变换找到一个与之等价的标准型.这里.非零对角元是首一（首项系数为1）多项式，并且例题求-矩阵的标准型.解即为所求的标准型.2．2-矩阵的性质定义4 矩阵的标准型中的非零对角元第21页共2
5、1页安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文称为的不变因子.定义5 矩阵的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式称为的k阶行列式因子.定理4等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.证明设-矩阵经过一次行初等变换化为了，与分别是与的阶行列式因子.需要证明.分3种情况讨论：（1）,此时,的每个阶子式或者等于的某个阶子式,或者与的某个阶子式反号,所以,是的阶子式的公因子,从而.（2）,此时,的每个阶子式或者等于的某个阶子式,或者等于的某个阶子式的倍.所以,是的阶子式的公因式,从而.（3）,此时,中那些包含行与行的阶子式和那些不包含行的阶子式都等于中对应的阶子式；中那些
6、包含行但不包含行的阶子式,按行分成两个部分,而等于的一个阶子式与另一个阶子式的倍的和,,也就是的两个阶子式的线性组合,所以,是的阶子式公因式,从而.对于列变换,可以一样地讨论.总之,经过一系列的初等变换变成，那么.又由于初等变换的可逆性,第21页共21页安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文经过一系列的初等变换可以变成,从而也有.当所有的阶子式为零时,所有的阶子式也就等于零；反之亦然.故与又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕.既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而,在求一个-矩阵的行列式因子时
7、,只要求出它的标准型的行列式因子即可.现在来计算标准型矩阵的行列式因子.设标准型为其中是首项系数为1的多项式,且,其他的元素都是0.易证,在这种形式的矩阵中,如果有一个阶子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个阶子式一定为0.因此,为了计算阶行列式因子,只要看由有行与列组成的阶子式就可以了,而这个阶子式等于.显然,这种阶子式的最大公因式就是.定理5矩阵的标准型是唯一的,并且.证明设的标准是第21页共21页安庆师范学院数学与计算科学
