jordan标准型的认识

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1、Jordan标准型的认识欧峥11应数一班2011326660117矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！矩阵的对角化用处很大，因为对角化后，对矩阵加乘等运算都可以简单很多，尤其在涉及特征值的方面！但是许多时候矩阵不能对角化。这时候相似变换的最好结果就是Jordan标准型的形式，因为矩阵的Jordan标准型是最简单的！一、若尔当标准型定义1设是一个复数，矩阵（1）其中主对角上的元素都是，紧邻主对角线下

2、方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的一个若尔当（或若尔当块）.当=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1设是维向量空间的一个线性变换，都是的一切互不相同的本征值，那么存在的一个基，似的关于这个基的矩阵有形状（2）这里=，而都是属于的若尔当块，定义2形式如的阶矩阵，其中每一都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：都是若尔当标准形式.定理2复数域上每一阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与相似的若尔当标准形式是由唯一确定的.二、用Jordan标准型求解线性微分方程组现实的很多问题，都可以

3、用现行微分方程组近似的去模拟，但很多的死后，不需要用到复数去求解，这个时候，如果使用Jordan标准型就可以迅速的解决问题！上面我们大概讲述了Jordan标准型的定义及定理，下面我们就来看一下其应用。1），方程组的基本解矩阵为其中，是阶的若当块，，，而为矩阵的初等因子的个数，，为矩阵的特征根，为阶非奇异矩阵，使得，。注：矩阵中空白的地方为零，称为过渡矩阵。2），以为例,对于这类问题，一般有两种思路：一种思路是利用高阶线性微分方程的理论与常系数高阶线性微分方程的求解方法如常数变易法齐次化原理算子解法等可以得到方程(1)的特解

4、和通解另一种思路就是将它化为与之等价的一阶线性微分方程组计算相应的齐线性方程组的基解矩阵首先把微分方程组该写成矩阵形式：其中：，，在给微分方程组施行一个非奇异线性变换，即：其中，于是，就有====对求约当标准型，先求其的特征值，得到特征值然后，Jordan标准型得到得到：所以：，，其一般解分别为：，，再由，求的原微分方程的一般解：由此，可以得到用Jordan标准型求解线性微分方程组出的答案，即是Jordan标准型在求解线性微分方程组的应用！用Jordan标准型，对于一些方程，可以大大的简化步骤！在许多的实际问题中，使用复数

5、往往没有多大的意义，因此，需要在实数域R上来求标准型！化矩阵为Jordan标准型，实际上就是适当选择线性空间的基或者坐标系，使得在新坐标系之下，问题的数学形式最为简单，从而研究！经过此次学习，我觉得Jordan标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某题，需要用到Jordan标准型，比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。