6. 第六讲 Jordan标准型

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1、矩阵分析与应用第六讲Jordan标准型信息与通信工程学院吕旌阳本讲主要内容λ－矩阵的概念若当(Jordan)标准形欧式空间2014/12/162引入由第五讲知，n维线性空间V的线性变换在某组基下的矩阵为对角形T有n个线性无关的特征向量.T的所有不同特征子空间的维数之和等于n.可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵为对角形.本节介绍，在适当选择基条件下，一般的线性变换的矩阵能化简成什么形状.2014/12/163一、λ－矩阵的概念定义：设K是一个数域，是一个文字，P[]是多项式环，若矩阵A的元素是的多项式，即P[]

2、的元素，则称A为―矩阵，并把A写成A().注：①KP[],∴数域K上的矩阵—数字矩阵也是―矩阵.2014/12/164②―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，其定义与运算规律与数字矩阵相同.③对于nn的―矩阵，同样有行列式

3、()

4、,A它是一个的多项式，且有

5、()()

6、

7、()

8、

9、()

10、.ABAB这里AB(),()为同级―矩阵.④与数字矩阵一样，―矩阵也有子式的概念.―矩阵的各级子式是的多项式.2014/12/165定义：若―矩阵A()中有一个rr(1)级子式不为零，而所有r1级的子式（若有的话

11、）皆为零，则称A()的秩为r.零矩阵的秩规定为0.2014/12/166λ－矩阵的初等变换λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换:①矩阵两行（列）互换位置；行变换：rrij列变换：ccij②矩阵的某一行（列）乘以非零常数k；行变换：kri列变换：kci③矩阵的某一行（列）加另一行（列）的p()倍，p()是一个多项式.行变换：rijp()r列变换：cijp()c2014/12/167二、λ－矩阵的行列式因子行列式因子：D()=最大公因式{A()的所有k阶子式}kD()k不变因子：dD()()1k0D()k1初等因

12、子：d()的不可约因式k注1：考虑－矩阵IA，可得A的最小多项式D()nmd()()nD()n1注2：－矩阵IA的行列式因子(不变因子，初等因子)称为A的行列式因子(不变因子，初等因子)2014/12/168110例：已知A430，求IA的全体初等因子102110解：IA430D()111024340因为3与42互质10122所以D2()1D3()detIA212不变因子为d()1,d(

13、)1,d()(1)(2)1232全体初等因子为(1),(2)2014/12/169例、求矩阵的不变因子2001A002001210002102A002100022014/12/1610200解：1）A()的非零1级子式为:A()00200122,,1.D11A()的非零二级子式为:202021,21,0012

14、0321.012014/12/1611200D1.A()002001223又DA31.所以，A的不变因子为：D2d1D11,d21,D1D32d31.D22014/12/161221001000210A2）2101,00210002021D31.又D1D2,D2

15、D3DD121.4而DA42.A()的不变因子为4d1d2d31,d42.2014/12/1613初等变换法求初等因子f()1A()其中，ffkk1()()f()n且f()是首1多项式kf()的不可约因式为A()的初等因子k2014/12/1614例：求上例中IA的全体初等因子110cc12110IA430340102012rr+(3)

16、110(1)c11002122010010cc21(1)01201