矩阵理论第二章矩阵的标准型.ppt

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1、2矩阵的标准型1目录2.1一元多项式2.2因式分解定理2.3矩阵化简2.4l阵的标准形2.5矩阵相似的条件2.6矩阵的若当标准形2.7矩阵的最小多项式2.1一元多项式定义.设n是一个非负整数，表达式23则称f(x)与g(x)相等，记作f(x)=g(x)。若其同次项的系数都相等，即定义.4多项式加法为了方便起见，设5运算规律:6数乘多项式运算规律:7多项式乘法其中k次项的系数是8运算规律:9定理2.1.1（带余除法）设f(x)和g(x)是数域F上的多项式，并且q(x)和r(x)是唯一的，带余除法且g(x)≠0，则必存在多项

2、式q(x)和r(x)，使得若r(x)=0，则称g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)的倍式，也称g(x)能整除f(x)，并记作g(x)

3、f(x)。10例2.1.1设f(x)和g(x)是有理数域F上的两个多项式求满足等式的多项式11122.2因式分解定理若h(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，则称h(x)为f(x)与g(x)的一个公因式。定义.若h(x)既是f(x)的倍式，又是g(x)的倍式，则称h(x)为f(x)与g(x)的一个公倍式。则称d(x)为f(x)和g(x)的一个最大公因式。则称d(x)为f(x

4、)和g(x)的一个最小公倍式。，并且满足:，并且满足:14使得d(x)是f(x)和g(x)的一个最大公因式，定理2.2.115不可约多项式定义.设，若在数域F上只有平凡因式，则称为域F上的不可约多项式，否则，称为域F上的可约多项式。注意：(1)一次多项式总是不可约多项式；(2)多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。例如，16因式分解唯一性定理定理.数域F上任一个次数不小于1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。其唯一性是指，若有两个分解式则s=t,并且经过对因式的适当排序后有其中为非零常数

5、。17称为标准分解式。分解式其中a是f(x)的首项系数，是首项系数为１的不可约多项式，而是正整数18复系数多项式的因式分解定理：因式分解定理次数不小于1的复系数多项式在复数域上可唯一地分解成一次因式的乘积。标准分解式为复系数多项式的其中是正整数，且19实系数多项式的因式分解定理：次数不小于1的实系数多项式在实数域上可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。标准分解式为实系数多项式的其中和是正整数，且的标准分解式。例求在实数域上的标准分解式:在复数域上的标准分解式:212.3矩阵化简文件在计算机中存储方式：二进制代码特

6、别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等）黑白：0-1矩阵，如分辨率为1024*980的一张黑白照片，占用空间为1024*980*1/8=122.5kb。彩色：三基色（红、绿、蓝）理论，每一种颜色分级为0-255，一个像素占用1*3个字节，全为0表示黑色，全为255表示白色；如分辨率为1024*980的一张彩色照片，占用空间为1024*980*8*3/8=2940kb。问题：存储空间有限，文件如何化简？22将存储空间的0-1看成一个矩阵，进行矩阵的化简矩阵化简的种类：矩阵合同：对n阶方阵A和B，如果存在可逆矩阵C满足B=

7、CTAC，就称矩阵A和B合同。矩阵等价：对矩阵A和B，如果矩阵B可以经过一系列初等变换化为A，就称矩阵A和B合等价。矩阵相似：n阶方阵A和B，如果存在可逆矩阵C满足B=C-1AC，就称矩阵A和B相似。矩阵的相似是利用最多的一种方式一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有n（原矩阵阶数）个线性无关的特征向量。不是所有的矩阵相似于对角矩阵，如问题：不能相似于对角矩阵的方阵相似最简单情况是什么？242.4l阵的标准形定义.元素是l的多项式的矩阵称为l矩阵，记作A(l)例如定义.设l矩阵A(l),B(l)满足称A(l)为可逆的l

8、矩阵，且B(l)为A(l)的逆。显然，A(l)可逆说明：l矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系（向下兼容性）。26定义.l矩阵的初等变换27定义:若l矩阵A(l)经过若干次初等变换变为B(l)，l矩阵的等价则称A(l)与B(l)等价，记作28引理：设为n阶l矩阵，，若A(l)中存在一个元素不能被整除，则必存在与A(l)等价的矩阵满足“A(l)可经过若干次初等变换变成一个l矩阵，其(1,1)元素是其余所有元素的公因式。”29情形1：不能被整除，情形2：不能被整除，证明过程与情形1类似30能被整除，情形3：但不能被整除，此时已

9、化成情形231定理：设A(l)为m×n阶l矩阵，则A(l)等价于分块对角阵称为A(l)等价标准形，其中并且首项系数为1，l矩阵的等价标准形例：求l矩阵的等价标准形323334l矩阵的秩定义：l矩阵A(l)的不恒为零的子式的最高阶数显然，等价的l矩阵有相同的秩。称为A(l)的秩。事实上，l矩阵的初等变换不会改变其子式恒