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1、矩阵论电子教程哈尔滨工程大学理学院应用数学系矩阵的对角化,若当标准型第三章定义1:设为数域上的多项式，令§3.3方阵的若当标准型方阵化为对角形是有条件的，如果一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求，化为一个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是肯定的，分块对角形就是所谓的Jordan标准形。一，λ-矩阵与Smith标准形1,λ-矩阵中次数最高的多项式称为的次数数字矩阵与特征矩阵都是矩阵则为多项式矩阵或矩阵。零矩阵的秩为0定义2如果矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式(如果有的话)全为零，则称的秩为，记为:这里是阶单位矩阵。称为矩阵的逆矩阵，记为定义3一
2、个阶矩阵称为可逆的，如果有一个阶矩阵满足:对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种矩阵得初等矩阵下列各种类型的变换，叫做矩阵的初等变换：(1)矩阵的任二行(列)互换位置；(2)非零常数乘矩阵的某一行(列)；(3)矩阵的某一行(列)的倍加到另一行(列)上去，其中是的一个多项式。定理1:对一个的矩阵的行作初等行变换，相当于用相应的阶初等矩阵左乘。对的列作初等列变换，相当于用相应的阶初等矩阵右乘定义4如果经过有限次的初等变换之后变成，则称与等价，记之为定理2:与等价的充要条件是存在两个可逆矩阵与，使得行列式因子的定义：设为一个阶矩阵,对于任意的正整数
3、必有非零的阶子式，的全部阶子式的首一最大公因子称为的阶行列式因子。记为:显然，如果，则行列式因子一共有个例1求的各阶行列式因子。规定:由于，所以。显然而且其余的7个2阶子式也都包含作为公因子，所以另外定理2：等价矩阵有相同的各阶行列式因子从而有相同的秩。注意：观察三者之间的关系定理3:设为阶矩阵,是的阶行列式因子,则:定义5:设为阶矩阵,是的阶行列式因子,则称为的不变因子定理4任意一个非零的阶矩阵都等价于一个对角矩阵，即:2,-矩阵Smith标准形的存在性为的Smith标准形。且是首项系数为1的多项式且是的不变因子证明:由定理2知,与有相同的行列式因子,
4、而的行列式因子为所以,为的不变因子阶矩阵的不变因子是唯一的例2将其化成Smith标准形解：为不变因子解：将其化成Smith标准形。练习1例3将其化为Smith标准形。解：推论1矩阵可逆的充要条件为与单位矩阵等价。推论2矩阵可逆的充要条件为可以表示成一系列初等矩阵的乘积。与一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论：3,初等因子设矩阵的不变因子为在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：其中是互异的复数，是非负整数。因为,所以满足如下关系:于是,我们有定义:初等因子的定义在上式中，所有指数大于零的因子称为矩阵的初等因子例4如果矩阵的不变因子为则的初等因子为定理5
5、阶矩阵与等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。定理6设矩阵为准对角形矩阵，则与的初等因子的全体是的全部初等因子。此定理也可推广成如下形式：推论3若矩阵则各个初等因子的全体就是的全部初等因子。例5求矩阵的初等因子，不变因子与标准形。解：记那么对于，其初等因子为由上面的定理可知的初等因子为的不变因子为因此的Smith标准形为二,矩阵的Jordan标准形为阶方阵A的Jordan标准型。定义：称为A的特征值的若当块,为的代数重复度其中而:为A的特征值的若当子块,于是可以得到下面的定理定理7：设,全部初等因子为：则存在可逆矩阵T，使得：其中，每个初等因
6、子对应J的若当子块解：先求出的初等因子。对运用初等变换可以得到例6：求矩阵的Jordan标准形。所以的初等因子为故的标准形为或例7：求矩阵的Jordan标准形。解：先求出的初等因子。对运用初等变换可以得到:所以的初等因子为故的Jordan标准形为或求矩阵的Jordan标准形。练习2的标准形为：解答：或求矩阵练习3的Jordan标准形。解：如何求相似变换矩阵？由定理7知道，方阵与标准型J是相似的，即存在可逆矩阵T，使得：，求法如下：设，由得所以：解方程并选择适当的即得。称为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求的
7、方法。例8：的Jordan标准形及其相似变换矩阵。求方阵解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：故的初等因子为从而的Jordan标准形为再求相似变换矩阵：设所求矩阵为，则，对于按列分块记为，则：从而：整理以后可得一个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取但是不能简单地取这是因为如果选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令：显然是前两个方程的解，将代入第三个方程中，为的是选取适当的，使：有解即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵的秩为1只需令就会使得上述矩阵的秩为1，再
8、由第三个方程解出一个特解为于是：那么所求相似变换矩阵为由，知：即A通过相似变换T
