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1、N阶复矩阵的若尔当标准型的过渡矩阵的计算郭静136510053摘要：设A是一个n阶复矩阵，存在过渡矩阵T，使(若而当标准型）的证明，计算和应用。关键词：矩阵，过渡矩阵，若尔当标准型。定义1:形式为的矩阵称为若当块,其中λ是复数,由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。由《高等代数》知:每个n级复矩阵A都与一个若当形矩阵J相似,这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被A唯一确定的.它称为A的若当标准形.下面介绍一种确定T的方法。设A是一个n阶复矩阵.求A的若当标准形J,并确定过渡矩阵T,使得,我们可以按以下步骤
2、进行:第1步:用初等变换求出的标准形B(λ),同时求出相应的可逆λ-矩阵(λ)和(λ),使得:(λ)(E-A)(λ)=B(λ).第2步:由B(λ)知A的不变因子,由此得出A的初等因子,再由初等因子写出A的若当标准形J.第3步:用初等变换将E-J化为标准形B(λ)(因A～J,所以E-A与E-J等价,因而它们有相同的标准形),同时求出可逆λ-矩阵U2(λ)和V2(λ),使得:U2(λ)(E-J)V2(λ)=B(λ).第4步:令U(λ)=(λ),V(λ)=(λ)则: U(λ)(E-A)V(λ)=E-J.
3、 (1)第5步:求λ-矩阵Q(λ)、R(λ)和数字矩阵U0和V0,使得: U(λ)=(E-J)Q(λ)+U0, (2) V(λ)=R(λ)(E-J)+V0. (3)定理 设A是一个n阶复矩阵,则以上方法求得的V0就是所要确定的过渡矩阵,即若令T=V0,则T可逆且=J.证明 由(1)式和(3)式得:(E-J)=(E-A)V(λ)=(E-A)[R(λ)(E-J)+V0],所以 [-(E-A)R(λ)](E-J)=(λE-A)V0.令T=-(λE-A)R(λ),则T(λE
4、-J)=(λE-A)V0.(4)因V0是数字矩阵,比较(4)的两边即可知:T必为数字矩阵.又U(λ)T=U(λ)-U(λ)(λE-A)R(λ)所以 E=U(λ)T+U(λ)(λE-J)R(λ)=[(λE-J)Q(λ)+U0]T+(λE-J)R(λ),所以 E=U0T+(λE-J)[Q(λ)T+R(λ)].又因E和U0T均为数字矩阵,所以上式右边第二项必为0,故E=U0T,从而T=代入(4)得:(λE-A)=(λE-J)V0,所以 λE-J=U0(λE-A)V0=λ(U0V0)-U0AV0,所以 U0V0=E且J
5、=U0AV0,所以 U0=,且J=AV0.因此,若令T=V0,则J=.证毕.下面，举例说明如何计算。接下来，讲讲若尔当标准型的应用。当标准形理论不仅在数学上有着重要应用,而且在物理、化学等其它领域有着极其广泛的应用。在线性代数中,行列式是重要的内容之一,而求解高阶行列式不是一件容易的事,本文从若当标准形理论的应用角度,给出一类具有线性递推关系的行列式这类行列式的一种解法,从而进一步说明若当标准形理论的重要性,应用的广泛性。参考文献：1：严坤妹若当(Jordan)标准形的计算方法及其在计算行列式中的应用2:刘宁与复矩阵
6、的若当标准形相应的过渡矩阵的计算
