第三章矩阵对角化若当标准型.doc

《第三章矩阵对角化若当标准型.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章矩阵的对角化、若当标准型§3.1矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。一、特征值、特征向量性质定义1设，称的全体特征值为的谱。下面定理1是显然的。定理1相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。由于矩阵的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。定理2设，则的不同特征值对应的特征向量线性无关。定义2设，为的特征值，称的特征多项式中的重根数为的代数重复度，称特征子空间的维数为的几何重复度。由定义2即知的特征值的几何重复度为对应

2、于特征值的线性无关特征向量的个数。定理3设，为的特征值，为的几何重复度，则证明特征子空间，所以例1求的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。解所以的谱为，，的代数重复度分别为。的几何重复度的几何重复度定理4设，为的特征值，为的代数重复度，为的几何重复度，则。证明因为为的几何重复度，所以对应于有个线性无关的特征向量是特征子空间的基，将扩充为的基设，则其中，。所以矩阵与相似，故特征多项式又因为所以。二、矩阵的对角化定义3设，若与对角阵相似，则称可对角化，可对角化的矩阵称为单纯矩阵。定理5设，则为单纯矩阵的充分必要条件是的任一特征值的代数重复度等于几何重复度。证

3、明设为的全部相异特征值，为的代数重复度，为的几何重复度，。充分性因为，，所以有个线性无关的特征向量其中为对应的特征向量，。设则故必要性设与相似，则是的特征值，不妨设则关于特征值至少有个线性无关的特征向量，即，又由定理4：，故得，。由定理5的证明显然有下面的结论。推论1设，则为单纯矩阵的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。推论2设，若有个不同的特征值，则为单纯矩阵。三、正规阵及其对角化定义4设，如果，则称为复（实）正规阵。显然埃尔米特矩阵（对称阵）、反埃尔米特矩阵（反对称阵）和酉矩阵（正交阵）都是复（实）正规阵。定义5设，若，使得（）则称酉（正交）相似。引理1

4、（司楚尔（Schur）引理）设，则，使得，其中是上三角阵，且的对角线为的特征值。证明用归纳法当时，命题显然。假设时命题成立，要证时命题也成立。设，为的特征值，为其对应的特征向量，且。将扩充为的标准正交基记，则因为，故由假设，使得，其中为上三角阵。所以所以记，，则，且其中为上三角阵。因为与酉相似，故与有相同的特征值，所以的对角线元素为的特征值。推论3设，则，使得，其中是下三角阵，且的对角线为的特征值。定理6设，则为正规阵的充分必要条件是，使得，其中，是的特征值。证明必要性由司楚尔引理，使得，且的对角线为的特征值。因为所以，即比较此式两端即得。充分性，故。推论4正

5、规阵是单纯矩阵。推论5正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交。证明由定理6知酉相似对角阵，故的不同特征值的特征子空间基底正交，故得证。推论6设为正规阵，其特征值为，则的特征值为。证明因为为正规阵，所以，使得所以即的特征值为。推论7设为正规阵，则为Hermite矩阵的充分必要条件是的特征值都是实数。证明由推论6，若，则的特征值为实数。反之若的特征值为实数，则。推论8设为正规阵，则为酉矩阵的充分必要条件是的特征值。证明因为为正规阵，所以，使得若，则，即，。反之，若，，则。阶正规阵酉相似于对角阵，求酉矩阵，使得的方法与线性代数中实对称阵对角化方法相似，介绍如下。（1

6、）求出的相异特征值（2）对的每个相异特征值求出其对应的特征子空间的基底（即方程的基础解系），。（3）将化为对应的特征子空间标准正交基（用施密特正交化，然后单位化），（4）取，则§3.2埃尔米特二次型埃尔米特矩阵是实对称阵的推广，而一个实对称阵对应着一个实二次型，相应的我们讨论复（埃尔米特）二次型，这在力学及其它一些工程中有重要的应用。一、埃尔米特矩阵定理1设，则（1）酉相似于对角线上都是的特征值的对角阵，且的特征值都是实数。（2）若，则与矩阵合同（称为的正惯性指数，为的负惯性指数）。证明（1）由本章§1定理6及推论7即得。（2）因为为正规阵，所以，使得不妨设，

7、其中，则其中对角阵，记，则，且由上述证明可得出埃尔米特矩阵的正、负惯性指数即为的正、负特征值的个数，从而的惯性指数唯一确定，是合同变换下的不变量。定理2设，则为Hermite矩阵的充分必要条件是，为实数。证明必要性因为是数且为Hermite矩阵，所以故为实数。充分性因为为实数，故，即。设，则。（1）取，则，。（2）取，则，由（1）知。（3）取（），则，所以，由（2）得，即，故。一、埃尔米特二次型定义1设，称元二次齐次函数为埃尔米特二次型或复二次型，其中，。若记，则，且埃尔米特二次型。由定理2知埃尔米特二次型是实数，如果作可逆线性变换，则，而也是埃尔米特矩阵，这

8、样，就化为关于的埃尔米特二次型，即。定