实对称矩阵的相似矩阵.ppt

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1、第四节实对称矩阵的相似矩阵一、实对称矩阵特征值的性质二、实对称矩阵的相似理论三、实对称矩阵对角化的方法第四节教学要求1、掌握实对称矩阵特征值的性质2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明一、实对称矩阵特征值的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．于是有两式相减，得定理1的意义证明于是二、实对称矩阵的相似理论定理4任意实对称矩阵都与对角矩阵相似。它们的重数依次为其中证明：设的互不相等的特征值为由定理3，对应于特征值又由定理2及知，有个线性无关的

2、特征向量，恰有个线性无关的特征向量，从而与对角矩阵相似。定理5设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵。根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.三.实对称矩阵对角化的方法其中对角矩阵的主对角元的排列顺序与中列向量的排列顺序相对应.解例1对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单

3、位化于是得正交阵利用对角化可求方阵的幂例2设为3阶实对称矩阵,的特征值为求解:由于是实对称矩阵,故必可对角化,且～例3设三阶实对称矩阵的特征值为-1,1,1,与特征值-1对应的特征向量为,求即解之得基础解系故就是对应于的特征向量.解:设与特征值对应的特征向量为由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量一定正交,故又的对应于二重特征值的线性无关的特征向量一定有两个,记于是例4设是两个阶实对称矩阵,证明相似的充要条件是有相同的特征值.证明若A与B有相同的特征值.记特征值为由相似矩阵的传递性知A与B相似

4、.因为实对称矩阵A与B必可对角化,所以若A与B相似,由相似矩阵的性质,A与B一定有相同的特征值.1.对称矩阵的性质：小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)单位化．思考题1思考题1解答思考题2思考题2解答