集美大学高数竞赛试卷和参考答案2010—2011

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1、装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号集美大学试卷纸2010—2011学年第一学期课程名称高等数学试卷卷别竞赛试卷适用学院、专业、年级非数学专业07-09级考试方式闭卷开卷□备注1.本试卷共6页，答题前请检查；2.考试时间150分钟。总分题号一二三四五六七得分阅卷人得分一、求极限.（14分)得分二、设存在，且，记求在某个邻域内的导数，并讨论在处的连续性.（14分）得分三、设函数满足且求定积分.（14分)P10P9装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号得分四、设旋转面上某点处的切平面为，若平面过曲线上对

2、应于的点处的切线.求平面的方程.（14分)得分五、设数列满足，且，证明在时级数收敛，并求其和函数.（15分)P10P9装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号得分六、设曲面为的外侧，试求.（14分)得分七、设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且，记证明：（15分)P10P9装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号参考答案：一、解由于对有，所以＝＝二、解由知又，于是显然有所以又因此在处连续.三、解由题设得微分方程满足初始条件它的特解为于是＝四、解由已知易得切线的方程为记,，则点切平面的法向量为,．　　平面的

3、方程为即.因为过，所以上的点在上，于是有，解得和，所以平面的方程为或.五、解显然，是正项严格单调增加数列，且，假设则有由归纳法得于是因级数在，即时收敛，所以由比较判别法知，级数在时绝对收敛.经标号变换，原级数有＝＝＝移项后得原级数的和函数为六、解把曲面的方程代入该第二类曲面积分得记曲面所围的区域为，则利用高斯公式即得原积分P10P9装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号七、证明由题设条件可知，在闭区间上连续，所以有函数在处的一阶泰勒公式为其中在0与之间,.于是，有即有分别令并把它们代入上式后相加得即

4、有.令，则由夹逼准则得P10P9