集美大学高数竞赛（2012）参考答案

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1、装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号集美大学试卷纸（参考解答与评分标准）2012—2013学年第一学期课程名称高等数学试卷卷别竞赛试卷适用学院、专业、年级全校（含诚毅学院）理工科和经管类各专业09-11级考试方式闭卷开卷□备注1.本试卷共6页，答题前请检查；2.考试时间150分钟。总分题号一二三四五六七得分阅卷人得分一、填空题（本大题共40分，每小题5分）1.函数的跳跃间断点为.2.当时，与是同阶无穷小，则.3.．4.设，则.5.已知，则.6.数列中最大的数是．7.设是正值有界数列，则.8.设，则在极坐标下的累次积分（先后）为.得分二、（本题9

2、分）求极限.解注意到，记，则当时，有，，（7分）从而，所以.（10分）得分三、（本题9分）设，且，求.解由分部积分公式可得，.（3分）又由N-L公式知，，所以P6P5装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号.（10分）得分四、（本题10分）设在上可导，对，恒有，且.求.解在中，取代入得，.（2分）对（固定），将两边关于求导可得，，令代入上式，并注意，可得.（5分）记，则，解微分方程得通解，而由得，所以，即.（10分）得分五、（本题10分)设满足，求曲线与直线所围平面区域面积的最大值和最小值.解因为，所以.而曲线与直线所围区域的面积为.（4分）问题归

3、结为求在约束条件下的最值.为此，作函数，则由方程组解得唯一条件驻点，此时.又因为当时，或当时，，所以所求面积的最大值和最小值分别为.（10分）得分六、（本题10分）设在上非负连续，且，证明：对，有.证明令，，则在上正值可导，且，从而.（4分）于是，由N-L公式及积分的单调性可得，对，有，因此对，有.（10分）P6P5装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号得分七、（本题12分）设二阶偏导数连续，且满足方程，其中.若作变换，试确定的值，使得原方程化成，并求的一般表示式.解（1）将视为自变量，视为中间变量，由链锁法则可得，，；，，，（5分）将上述结果代

4、入所给方程，化简得.令，因为，所以方程有两个不同实根，分别为.因此，当时，注意到此时，从而原方程化成.（9分）（2）由（1）得，记，则的一般表示式为.（12分）P6P5