大学高数竞赛题和答案.doc

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1、2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．若，是上的连续函数,则a=0。2．函数上的最大值为。3．=。4．设区域.5．设函数由方程所确定，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数可导,并且时,该函数在点处微分（A）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。2．设函数在点x=a处可导,则

2、f(x)

3、在点x=a处不可导的充要条件是（C）（A

4、）；（B）；（C）；（D）。3．曲线（B）(A)没有渐近线;(B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线;(C)有一条铅直渐近线;(D)有二条水平渐近线。4．曲线与x轴所围成的平面图形的面积为（D）（A）；（B）－；（C）－+;（D）+。５1．设D是xoy平面上以点(1,1),(－1,1),(－1,－1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则（B）（A）；（B）；C）；（D）0。三、设函数具有二阶二阶导数，且。（本题6分）解：因为，所以四、设函数由参数方程。（本题6分）解：当五、。设n为自然数,计算积分（本题7分）解：=所以５六、计算,其中k为常数.（本题6分）解：当0

5、0时所以七、。已知曲面方程为,则(1)在曲面上求一点,使其到原点的距离最小;(2)写出该点处的切平面方程.（本题8分）证明：点(x,y,z)满足条件xyz=1,到原点距离为.于是得条件极值由拉格朗日乘数法,拉格朗日函数八、设函数连续,且围成的区域,求。（本题7分）解：假设,于是５所以.九、设上连续,则。（本题7分）证明：用极坐标计算二重积分假设所以由夹逼定理，得到。十、设在闭区间[0,1]上连续,,证明:对于任意给定的整数n>2,必存在。（本题8分）证明：令,只需证明.(反证法):反设不,由于上连续,所以上不变号,不妨假定上.所以:…,所以与矛盾.所以存在.十一、设是除x=0点外处处连续的奇函

6、数,x=0为其第一类跳跃间断点,证明是连续的偶函数,但在点x=0处不可导。（本题7分）解：1.假设因为是除x=0点外处处连续的奇函数,x=0为其第一类跳跃间断点,所以.(若A=0,则在x=0连续)５2.令.显然在x=0连续,所以在连续当x>0时,－x<0,,当x<0时,－x>0,.所以是连续的奇函数.所以是连续的偶函数.3.所以是连续的偶函数,但在点x=0处不可导。十二、设常数,证明:当（本题8分）证明：假设（x>0）只要证明i.当,ii.当令,所以,由得,为极小值,也是最小值所以.由,得到i.当,ii.当.５