清华大学高数竞赛培训.pdf

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1、清华大学大学数学竞赛培训教材1，2，3，5章及其经典习题第一部分例题精讲与习题第一章极限与连续性1.1基本概念与内容提要1）.极限存在的条件：左极限等于右极限。相关联的题型：（1）函数连续性和可导性的判断及应用；（2）求函数的间断点：①第一类间断点（左右极限存在）：a>可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。b>跳跃间断点：左右极限存在但不相等。②第二类间断点：fxfx0除第一类间断点以外所有的间断点；（3）用定义求导数，若lim存在，xxxx00'fx

2、fx0则函数在x0处可导且fx0lim。所以，判断可导性就是判断极限xxxx00fxfx0lim是否存在；(4)求函数的渐近线：①水平渐近线：limfxA，则xxxxx00y=A是f(x)的水平渐近线；②铅直（垂直）渐近线：limfx，则xx是yfx0xx0fx的铅直（垂直）渐近线；③斜渐近线：ykxb其中klim,blimfxkx；xxx④斜渐近线最多有两条，水平渐近线最多有两条，水平渐近线与斜渐近线的总

3、条数最多有两条。2）.连续函数的极限nn3）.常用极限：lima1a0,limn1,limarccotx0,nnxlimarccotx,,limarctanx,limarctanxxxx22limex0,limex,limxx1,limlnxx0xxxx004）.极限的四则运算5）恒等变形、约去零因子、有理化等常用化简方法6）.极限存在准则（夹逼定理、单调有界定理）sinx1x7）.两个重要极限及其变形：lim

4、1,lim1xex0xx08）.洛比达法则（重点），常与洛比达法则一起交替使用，常考的共有七种不定式极限：0①型，常用方法：约去零因子；等价无穷小替换；变量代换；洛比达法则；恒等变形0②型，常用方法：分子分母同时除以最高次幂项；变量替换；洛比达法则③型，常用方法：通分；倒代换；有理化④0型，常用方法：变形；变量代换；取倒数化为型0⑤0型，常用方法：取对数化为0型；恒等变形；变量代换0⑥型，常用方法：取对数化为0型；恒等变形消除不定式；利用重要极限1lim1

5、xxe；等价替换x01⑦1型，常用方法：取对数化为0型；利用重要极限lim1xxex09）.无穷小得比较设limx0,limx0,x0，则x,x即为无穷小量，xxxx00x（1）若lim0，则称当xx时x是比x高阶的无穷0xx0x小，记为xox，或者说当xx时x是比x低阶的无穷小；0x（2）若limCC0，则称当xx0时x是与x同xx0x

6、阶的无穷小。特别的，当C=1时，称当xx时x与x是等价无穷小，记为0xxxx0；x（3）若limkCC0，则称当xx0时x是与xxx0x的k阶无穷小。等价无穷小替换求极限（注意：有界函数与无穷小的积是无穷小）：等价无穷小是指在乘积型极限中，一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小因式代替。x常用等价无穷小：当x0时，sinxx,tanxxe,1x,ln1xx,1a11cosxx2,1x1axa,x1x

7、ln,1anx1x,arcsinxx,2narctanxx。注意：高阶无穷小、k阶无穷小的判断及应用。补充：无穷大量比较：①当n时，无穷大的阶数由低到高排列为：nnln,nn0,n0,aa1,n；②当x时，无穷大的阶数由低到高排列为：xxln,xx0,x0,aa1,x。9）.利用泰勒公式、中值定理求极限，求极限常用迈克劳林公式有：xx2xnex1...oxn1!2!n!n1x3x51x2n1s

8、inxx...ox2n3!5!2n1!nx2x41x2ncosx1...ox2n12!4!2!n12tanxxx3x5ox5315n11n1xln1xxx2x3...1oxn23n12nn1xx...xox1x10）.利用定积分的定义求极限11）证明数列极限存在的方法：①夹逼定理②单调有界定理③级数敛散法：若级数anan1收敛，则liman存在④