一元积分学讲义(高数竞赛).pdf

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1、第三讲一元积分学第一部分内容提要一、基本概念与性质1.原函数与不定积分的概念设函数fx()和Fx()在区间I上有定义，若Fx′()=fx()在区间I上成立。则称Fx()为fx()在区间I的原函数，fx()在区间I中的全体原函数成为fx()在区间I的不定积分，记为∫fxdx()。其中∫称为积分号，x称为积分变量，fx()称为被积函数，fxdx()称为被积表达式。2.不定积分的性质设∫fxdx()=Fx()+C,其中Fx()为fx()的一个原函数，C为任意常数，则（1）∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x

2、)+C；′（2）[∫f(x)dx]=f(x)或dd∫f(x)dx=f(x)dx；（3）∫kf(x)dx=k∫f(x)dx；（4）∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx；3.原函数的存在性设fx()在区间I上连续，则fx()在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数22sinxcosxdx不一定是初等函数，例如∫sin()dxx，∫cos(x)dx，∫dx，∫dx，∫，xxlnx2－x∫edx等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。二、基本积分表dxxdx1x（1

3、）=arcsin+c（a>0）(2)=arctan+c（a>0）∫a2x2a∫a2+x2aa−dx1xa+(3)=ln+c（a>0）(4)secxdx=lnsecx+tanx+c∫22∫a−x2axa−dx22(5)∫cscxdx=lncscx−cotx+c(6)∫22=ln(x+x±a)+cx±a三、换元积分法和分部积分法1.第一换元积分法（凑微分法）设∫fudu()=Fu()+C,又ϕ(x)可导，∫f[()]()ϕxϕ′xdx=∫f[()][()]ϕxdϕx设∫f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C，这里

4、要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。2.第二换元积分法设x＝ϕ(t)可导，且ϕ′(t)≠0，若∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt＝G(t)＋C，则−1∫f(x)dx=∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt＝G(t)+C＝G[ϕ(x)]+C−1其中t=ϕ(x)为x=ϕ(t)的反函数。3.分部积分法设u(x)，v(x)均有连续的导数，则∫u(x)dv(x)＝u(x)v(x)－∫v(x)du(x)或∫u(x)v′(x)dx＝u(x)v(x)－∫u′(x)v(x)dx四、定积分的概念与性质1.定积分的定义及

5、其几何意义2.定积分的性质b中值定理：设fx()在[a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b]使得∫f(x)dx=f(ξ)(b−a)a1b定义：我们称∫f(x)dx为f（x）在[a,b]上的积分平均值。b−aa五、基本定理1．变上限积分的函数x定理：设fx()在[a,b]上连续，则F(x)＝∫f(t)dt在[a,b]上可导，且F′(x)=f(x)a推广形式ϕ2(x)设F(x)＝f(t)dt，ϕ(x),ϕ(x)可导，f(x)连续，则∫()12ϕ1x′′F′(x)＝f⎡ϕ(x)⎤ϕ(x)−f⎡ϕ(x)⎤ϕ(x)⎣2⎦2⎣1⎦1

6、2.牛顿－莱布尼兹公式设fx()在[a,b]上可积，F(x)为fx()在[a,b]上任意一个原函数，则有bbf(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)∫aa六、定积分的换元积分法和分部积分法bβ1、∫f(x)dx＝∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dtaα（x＝ϕ(t)在[α，β]上有连续导数，单调，ϕ(α)＝a，ϕ(β)＝b）bbb2、u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−v(x)u′(x)dx∫aa∫a七、反常积分b定积分∫f(x)dx的积分区间[a,b]是有限区间，又fx()在[a,b]上是有界的，如果积a分区间推

7、广到无穷区间或fx()推广到无界函数就是两种不同类型的反常积分。1.无穷区间上的反常积分＋∞b定义：∫f（x）dx＝lim∫f（x）dxab→＋∞a＋∞若极限存在，则称反常积分∫f（x）dx是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存a＋∞在，则称反常积分∫f（x）dx是发散的。而发散的反常积分没有值的概念。abb∫－∞f（x）dx＝alim→∞∫af（x）dx－同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念。＋∞c＋∞cb∫－∞f（x）dx＝∫－∞f（x）dx＋∫cf（x）dx＝alim→－∞∫af（x）dx＋blim

8、→＋∞∫cf（x）dx⎧1＋∞1⎪,p>1公式（1）.dx=⎨p−1∫1xp⎪⎩发散,p1≤2.无界函数的反常积分（瑕积分）(1)设fx()在[a，b)内连续，且limf（x）＝∞，则称b为fx()的瑕点。－x→bbb－∈定义∫af（x）dx＝lim0＋∫af（x）dx∈→b若极限存在，则称反常积分∫f（x）dx收敛，且它的值就是极限值，若极限