《高数讲义》

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1、第一章函数极限连续一．求函数的定义域具体函数求定义域的例子就不举了.例1.设求（1）的定义域；（2）的定义域；（3）的定义域。解：（1）（2）（3）练习．设的定义域为，求的定义域.要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则.例2．判断下列两组函数是否是同一函数：二．求函数的表达式例3．设求.解：此种题型的常规解法是设元法，即令反解得到再代入原式，得，再将的记号全换为但此法只适用于简单函数，要学会直接凑成的方法.因为,所以，例4．设求解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式。至少要记住两个倍角公式和三个“1”公式。因为79所以，例5．设求.解：首

2、先把作整体看待三．关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别）例6．设在上有定义，证明：为偶；而为奇.要记清两个知识点：（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称；如没有指明定义域，则默认为比如：就是非奇非偶函数；（2）奇偶函数的图形特征.结论：，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形式.例7．设时，且在内为奇函数，求.解：由于在内为奇函数，所以，，又当时，所以，关于周期函数，请大家记住一个结论。下面以例题的形式给出：例8．设是定义在内的以为最小正周期的周期函数，证明：函数是以为最小正周期的周期函数.证明：（一）首先证明是函数的周

3、期.事实上，设.(1)79因为所以，是函数的周期.（二）证明是函数的最小正周期.（反证法）假设存在使得对于定义域中的任意有（2）则对于任意的实数有这说明也是的周期，但，这与是的最小正周期相矛盾.例9．的最小正周期为由周期函数的定义，容易知道有下面的结论：设分别是以为周期的函数，且为有理数，则是以的最小公倍数为周期的函数.例9．证明非周期函数.证明：（反证）设是以为周期的函数.则即上式中，分别令，得，得到矛盾.四．反函数反函数也是个常常考察的知识点，一般是以填空题或单项选择题的形式命题.没必要举例，只提醒大家注意两点：反函数的定义域是原函数的

4、值域；反函数的图形与原函数的图形关于直线对称.79五．复合函数两种常见题型：一是将简单函数复合成一个复杂函数，这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空；二是将复杂函数分解简单函数（大部分是基本初等函数).要求大家下去把书中第4—6页表中简单初等函数及其特性搞熟.例10．下列函数是否可以复合？（1）（可以）（2）（不可以）例11．将函数分解.六．函数的极限（包括数列的极限）数列的极限部分只要求：1.给出，能观察出是否存在？（精确的数学定义不作要求）；2.数列极限的三个性质（经常出判断题）；3.数列的四则运算法则.4.夹

5、逼准则；5.单调有界原理.记住几个常用的公式：例11．求.解：从表面上看，是两数列差的极限，但不能直接用四则运算法则.为什么？请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项.原式=例12．求例13．求例14．例15．求79解：此题宜用夹逼准则.因为，且故.注意：夹逼准则的两大功能“夹”与“逼”,要通过放大或缩小不等式来实现.要拿捏适当很不容易.比如上题，如用来夹逼就达不到目的了.例16．求解：因为，且故.注意：一般地，下面举几个利用单调有界原理求极限的例子.例17．证明数列有极限.证明：记（一）由均值不等式对于任意的有即，故单增.（二

6、）不妨设此时，有79故，故有上界，因此数列有极限.注意：今后记例18．证明：数列收敛，其中证明：（一）.，即有下界.（二）.由即单减.所以，由原理知，收敛.（三）.设，则因为所以，两边取极限，有：.又由收敛数列的保号性知：.下面讲函数的极限.第一个经常考的考点是函数极限存在的条件，即定理例19．设求.解：因为所以，不存在..如把此题稍加变形，则结论变为.注意：函数在点处有无极限，与其在点处有无定义无关.79例20．求（不存在，左极限-2，右极限2）.例21．求（不存在，左极限0，右极限）.请大家记住一个结论，以例题形式给出：例22．设为常数

7、，也可以为0），且则证明：例23．设求的值.解：由于所以，（1）故所以，例24．求.例25．求.书上有一个重要的结论要大家记住，也是一个考点，经常会以填空或选择的形式出现.例26．设，满足（1）求的值.下面举几个例子说明常见的函数求极限技巧.79例27．求；（比喻：以毒攻毒法）例28．求；例29．求；例30．求函数极限也有个夹逼准则.例31．求例32．证明：因为为偶函数，故只须证明：.事实上，不妨设，则.两边同除以得：.又因为.所以，由由夹逼准则知，，所以.下面讲无穷小与无穷大（定义自己去看），注意：离开了具体的极限过程，就无法定义无穷小（

8、大）.如，当时是无穷小；当时是无穷大.经常考的知识点是两个无穷小的比较（三种结果），这个知识点每年必考，下去自己看参考书.另一个需要掌握的知识点是无穷小与无穷大的关系定理.例27