考研--高数讲义

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1、第一讲极限与连续一、重要的概念1．极限定义（1）数列极限定义—（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为数列的极限，记。（2）自变量趋于无穷时函数极限的定义—（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数当时的极限，记。（3）自变量趋于有限值时函数极限的定义—（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数当时的极限，记。（4）左右极限的定义—：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数在处的左极限，记。：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数在处的右极限，记。注解：存在都存在且相等。2．无穷小（1）

2、无穷小的定义—以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的层次关系及等价无穷小的定义设，若，称是的高阶无穷小，记为；若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为。（3）无穷小的性质1）有限个无穷小之和还是无穷小；2）无穷小与有界函数之积还是无穷小；3）无穷小与常数之积还是无穷小；4）有限个无穷小之积还是无穷小；5）的充分必要条件是，其中；6）；7），且存在，则也存在且。（4）时常用的等价无穷小1）；2）（）；3）；4）。3．连续（1）若，称在点处连续；（2）若在区间内点点连续，且，称在区间上连

3、续，记为。4．间断点的分类设在处间断，则（1）若都存在，则称为函数的第一类间断点，更进一步，1）若，称为的可去间断点；2）若，称为的跳跃间断点。（2）若至少有一个不存在，称为函数的第二类间断点。二、重要定理（一）极限定理1．极限存在必唯一性定理—极限存在必唯一（需掌握证明）。2．数列极限的有界性定理—若，则存在，对一切的，有。（需掌握证明）。3．夹逼定理—设，且，则（对数列有同样的定理）。（需掌握证明）。（二）闭区间上连续函数的性质1．最值定理—设，则在区间上取到最大和最小值。2．有界定理—设，则存在，使得。

4、3．零点定理—设，且，则存在，使得。4．介值定理（1）设，对任意（其中为在上的最小值和最大值），存在，使得。（2）设，且（不妨设），对任意，存在，使得。三、重要极限1．；2．。四、常用的马克劳林公式（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。（7）。五、常见题型（一）求极限注解：求极限的方法方法一：重要极限方法二：极限存在准则方法三：等价无穷小方法四：马克劳林公式方法五：罗必达法则方法六：中值定理方法七：定积分1．。解答：，而，所以，于是。2．。3．设二阶连续可导，，求。4．设在的邻域内可导，且，求。5．

5、设，当时，，证明数列收敛并求其极限。解答：令，因为，所以单调。又因为，所以数列有界，从而数列收敛，令，则有。6．解答：。7．。解答：。8．。解答：，因为，，所以。9．。10．。解答：，由及，得，从而，于是。11．。12．。13．求常数，使得。（）14．设，求的间断点并指出其类型。解答：首先，其次的间断点为，因为，所以为函数的第一类间断点中的可去间断点，为函数的第二类间断点。15．设在上连续，任取（），任取（），证明：存在，使得。第二讲一元函数微分学一、重要的概念1．导数—设的定义域为，，记，若存在，称在点处可

6、导，其极限称为函数在点处的导数，记为或。2．左、右导数—若存在，称在处右可导，记为；若存在，称在处左可导，记为，函数在处可导的充分必要条件是其左右导数都存在且相等。注解：导数的其他定义（1）；（2）；（3）。2．可微—设在的邻域内有定义，若，称在处可微，其中称为函数在处的微分，记为，习惯上记为。二、重要的定理1．若函数可导，则函数一定连续。2．可导与可微等价。3．四个中值定理（1）罗尔中值定理—（2）拉格郎日中值定理（3）柯西中值定理（4）泰勒中值定理三、重要公式（一）基本求导公式（二）四则求导法则（三）复合

7、函数链式求导法则四、一元函数微分学的应用（一）单调性与极值（二）最值（三）凹凸性（四）弧微分、曲率与曲率圆1．弧微分（1）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则。2．曲线的的曲率；3．曲线的曲率半径为；4．曲率圆（1）定义—设函数在处有二阶导数，且，记为曲线上对应于的点，若圆在点满足：与曲线相切；与曲线有相同的凹凸方向；与曲线在点处有相同的曲率半径，称圆为曲线在点处的曲率圆。（2）曲率圆的中心曲率圆中心必在曲线在处的法线上，所以有。又，则。例子1．求曲线在点处的曲率圆。解答：，则。曲线在点的曲率半径为，曲率

8、中心为，所求的曲率圆为。2．求曲线上对应于参数的点处的曲率圆。解答：对应的点为。，则，曲线在点处的曲率半径为，曲率中心为，所求的曲率圆为。（五）渐近线五、常见的题型1．设在处可导，求。2．设连续，且对任意的有，求。3．，求。4．设二阶可导，且，求。5．设，若在处可导，求。（）6．，求。7．，求。（）8．设，求并讨论在处的连续性。9．设连续，，且，求，并讨论在处的连续性。10．，求。11．设连续，且，