考研高数讲义.docx

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1、考研--高数讲义————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第一讲极限与连续一、重要的概念１.极限定义(1)数列极限定义—（N）limanA:若对任意的0，总存在N0,当nN时，有

2、anA

3、成立，称An为数列{an}的极限，记limanA。n(2)自变量趋于无穷时函数极限的定义—（）limf(x)A:若对任意的0，总存在0,当0

4、xa

5、时,xa有

6、f(x)A

7、成立，称A为函数f(x)当xa时的极限，记limf(x)A。xa（３）自变量趋于有限值

8、时函数极限的定义—(X)limf(x)A：若对任意的0，总存在X0,当

9、x

10、X时，x有

11、f(x)A

12、成立,称A为函数f(x)当x时的极限,记limfxA。()x（4）左右极限的定义—f(a0)：若对任意的0,总存在0，当0ax时，有

13、f(x)A

14、成立，称A为函数f(x)在xa处的左极限，记limf(x)Af(a0)。xaf(a0):若对任意的0，总存在0,当0xa,

15、f(x)A

16、,A为函数f(x)在xa处的时有成立称右极限,记limf(x)Af(a0)。xa注解：limf(x)存在f(a0),f(a0)都存在且相等。xa２．无穷小(1)无

17、穷小的定义—以零为极限的函数称为无穷小。(2）无穷小的层次关系及等价无穷小的定义设0,0,若lim0，称是的高阶无穷小,记为o()；若limk(0,)，称与为同阶无穷小,记为O(),特别地，若lim1，称与为等价无穷小，记为~。（3)无穷小的性质１）有限个无穷小之和还是无穷小；2）无穷小与有界函数之积还是无穷小;3）无穷小与常数之积还是无穷小;4）有限个无穷小之积还是无穷小;５）limf(x)A的充分必要条件是f(x)A，其中0；6)~o()；７）~,~，且lim存在,则lim也存在且limlim

18、。（４)x0时常用的等价无穷小1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1;2）ax1~xlna(a0,a1）；3)1cosx~x2,1cosax~ax2；224）(1x)a1~ax。3.连续（）若limf(x)f(a)，称f(x)在点xa处连续；1xa（2）若f(x)在区间(a,b)内点点连续,且f(a)f(a0),f(b)f(b0),称f(x)在区间[a,b]上连续,记为f(x)C[a,b]。4．间断点的分类设f(x)在xa处间断,则（1)若f(a0),f(a0)都存在,则称xa为函数f(x)的第一

19、类间断点,更进一步，1）若f(a0)f(a0)，称xa为f(x)的可去间断点；２）若f(a0)f(a0),称xa为f(x)的跳跃间断点。(2）若f(a0),f(a0)至少有一个不存在，称xa为函数f(x)的第二类间断点。二、重要定理(一)极限定理1.极限存在必唯一性定理—极限存在必唯一(需掌握证明）。2limanA，则存在M0，对一切的n，有

20、an

21、M。（需掌握证明)。．数列极限的有界性定理—若n3.夹逼定理—设f(x)g(x)h(x)，且limf(x)limh(x)A，则limg(x)A（对数列有同样的定理）。(需掌握证明）。（二)闭区

22、间上连续函数的性质1.最值定理—设f(x)C[a,b],则f(x)在区间[a,b]上取到最大和最小值。2．有界定理—设f(x)C[a,b],则存在K0，使得

23、f(x)

24、K,x[a,b]。3．零点定理—设f(x)C[a,b],且f(a)f(b)0,则存在(a,b)，使得f()0。4．介值定理(1)设f(x)C[a,b],对任意[m,M](其中m,M为f(x)在[a,b]上的最小值和最大值）,存在[a,b],使得f()。(２）设f(x)C[a,b]，且f(a)f(b)（不妨设f(a)f(b)),对任意[f(a),f(b)],存在[a,b],使

25、得f()。三、重要极限1．limsinx11;2.lim(1x)xe。x0xx0四、常用的马克劳林公式(1)ex1xx2xno(xn)。2n!（2)sinxxx3(1)nx2n1o(x2n1)。3!(2n1)!（3)cosx1x2(1)nx2no(x2n)。2!(2n)!(4)11xx2xno(xn)。1x（5）11xx2(1)nxn(n)。1xox（6)ln(1x)xx2(1)n1xno(xn)。2n(7)(1x)a1axa(a1)x2a(a1)(an1)xno(xn)。2!n!五、常见题型(一)求极限注解：求极限的方法方法一:重要极限

26、方法二:极限存在准则方法三:等价无穷小方法四：马克劳林公式方法五:罗必达法则方法六：中值定理方法七：定积分11．lim(x)xln(1x)。x0arctanxx1xarctanxarctanx