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1、新东方在线[www．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列２０１８新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义欢迎使用新东方在线电子教材授课教师:张宇引言ì熟记基本概念、定理、公式ï形成教学知识结构ï目标{í掌握基本数学思想方法建立基础数学素养ïïî培养基本数学计算能力上课教材ì第一步:看表格,读教材ïï１)带你学系列,若自学í第二步:看表格,做练习题带你学系列ïïî第三步:研读经典例题选讲２)１８＋９＋９【注】张宇老师带你学系列就是同济七版里课后习题答案和精选的例题讲解,没有的同学,有同济六版或者七版的课本即可,后附每章带你学里的表格,有需要的同学可以查看．１新东方在线[www
2、．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列第一讲极限核心考点综述１)定义２)性质３)计算４)应用一、定义１．函数极限∀ε＞０,∃δ＞０,当０＜
3、x－x０
4、＜δ时,有
5、f(x)－A
6、＜ε⇔limf(x)＝Ax→x０２．数列极限{xn}n为自然数,n→¥,省去“＋”∀ε＞０,∃N＞０,当n＞N时,有
7、xn－a
8、＜ε⇔limxn＝an→¥【注】１)趋向方式６种:＋,x→x－x→x０,x→x００x→¥,x→＋¥,x→－¥∃δ＞０,０＜x－x０＜δ∃δ＞０,０＜x０－x＜δ∃X＞０,
9、x
10、＞X∃X＞０,x＞X∃X＞０,x＜－X２)f(x)的趋向方式f(x)→A,∀ε＞０,,,
11、f(x)
12、－A
13、＜εf(x)→¥,∀M＞０,,,
14、f(x)
15、＞Mf(x)→＋¥,∀M＞０,,,f(x)＞Mf(x)→－¥,∀M＞０,,,f(x)＜－M２新东方在线[www．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列【例】用定义证明２１－４xi．lim＝２１２x＋１x→－２３x＋１３ii．lim＝x→＋¥２x＋１２【分析】用定义证明极限式通常用下面两种方法:１)反解不等式法.写出不等式
16、f(x)－A
17、＜ε,从中解出
18、x－x０
19、或x,便可求得δ.２１１－４x(１)由定义∀ε＞０,∃δ＞０,当０＜x－(－)＜δ时,有－２＜ε⇒２２x＋１２εε１１－４x１－２x－２＜＝δ,故∀ε＞０,∃δ＝,当
20、０＜
21、x－(－)
22、＜δ时有－２＜ε,２２２２x＋１证毕.再如lim(３x－１)＝８x→３ε∀ε＞０,∃δ＞０,当０＜
23、x－３
24、＜δ时,有
25、３x－１－８
26、＜ε⇒３
27、x－３
28、＜ε⇒
29、x－３
30、＜＝δ３再如证lim(５x＋１２)x→２ε∀ε＞０,∃δ＞０,当０＜
31、x－２
32、＜δ时,有
33、５x＋２－１２
34、＜ε⇒５
35、x－２
36、＜ε⇒
37、x－２
38、＜＝δ５３x＋１３２)适当放缩,再证明不等式.证lim＝x→＋¥２x＋１２３x＋１３(２)∀ε＞０,∃X＞０,当x＞X时,有－＜ε.２x＋１２当
39、f(x)－A
40、＜ε较复杂,不易解出
41、x－x０
42、,
43、x
44、时,可考虑
45、f(x)－A
46、＜g(
47、x－x０
48、),g(
49、x
50、)g一定要简
51、单,从g(
52、x－x０
53、),g(
54、x
55、)＜ε中解出
56、x－x０
57、,
58、x
59、即可.３新东方在线[www．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列１１１１１＜＜＜ε⇒x＞,取X＝,证毕.２(２x＋１)４xxεε３n＋１３若改写为lim＝n→¥２n＋１２３n＋１３１１１∀ε＞０,∃N＞０,当n＞N时,有－＜ε⇒＜＜＜ε⇒２n＋１２２(２n＋１)４nn１é１ùn＞,取N＝êêúú,证毕.εëεû二、性质(三大)１．唯一性,若limf(x)＝A(∃),则A唯一．x→０若limxn＝a(∃),则a唯一．n→¥１æex－π１ö【例】设a为常数,且I＝limç２＋a?arctan÷存在,求a、I．
60、x→０èex＋１xø１２１１ππ１＋２－【分析】x→０:ex→＋¥,ex＝(ex)→＋¥,arctan→I＋＝?ax→０:ex→０,x２２２１１ππ２ex＝(ex)→０,arctan→－I－＝－π－?ax２２πππ由唯一性⇒I＋＝I－,即?a＝－π－?a⇒a＝－１,I＝－２２２１ex－π１【注】lim２不存在,lim－arctan不存在;常见“不存在＋不存在＝存在”,命题x→０ex＋１x→０x题型.２．局部有界性若limf(x)＝A(∃),则∃M＞０,当x→?时,
61、f(x)
62、≤M.x→０【证】∀ε＞０,x→?时,f(x)－A＜ε⇒f(x)＝f(x)－A＋A≤f(x)－A＋A＜ε＋A＝１＋A
63、＝M．∃M＞０中学:
64、a±b
65、≤a＋ba１±a２±?±an≤a１＋a２＋?＋ansinx【用】如:f(x)＝在(０,１)内有界吗?x【分析】(１)若是f(x)是[a,b]的连续函数,则f(x)在[a,b]有界.(２)考研中,若f(x)是(a,b)的连续函数,且limf(x)∃,limf(x)∃,则f(x)在x→a＋x→b－４新东方在线[www．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列(a,b)有界.xsin
