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《2014年考研数学高数基础班讲义-冯敬海》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学府考研培训学校2014年数学基础班讲义主讲：冯敬海学府考研培训学校2013年3月www.exuefu.com0第一讲函数极限连续一、函数的基本性质及其复合1．奇偶性定义：设函数fx()在某对称区间(−aa,)上有定义，如果对于∀∈−x(aa,)，都有fx()=f(−x)（或fx()=−f(−x)）则称fx()为偶函数（或fx()为奇函数）。奇偶性的判断准则：（a）如果在fx()的表达式中只出现x的偶数次方，则fx()必为偶函数。如果在fx()的表达式中只出现x的奇数次方，则fx()未必为奇函数。（b）设函数fx()在某对称区间(−aa,)或[−aa,]上有定义，则fx()+f(−x)必为偶
2、函数；fx()−f(−x)必为奇函数。x−xx−x比如：2+2；sin(1+x)sin(1+−x)为偶函数；2−2；sin(1+x)sin(1−−x)为奇函数。（c）可导奇函数的导数为偶函数；可导偶函数的导数为奇函数。（d）连续的奇函数的原函数必为偶函数；连续的偶函数的原函数不一定为奇函数。x（e）如果fx()为连续的奇函数，则Fx()=∫ftdt()为偶函数；0x如果fx()为连续的偶函数，则Fx()=∫ftdt()为奇函数。0（f）奇、偶函数的复合：fx()与gx()只要有一个为偶函数，则fgx(())必为偶函数，只有当fx()与gx()都是奇函数时，fgx(())才是奇函数。例1．设函
3、数fx()在某对称区间(−aa,)上有定义，则fx()必可写成一个奇函数与一个偶函数的和。1例2．设函数fx()连续，则下列函数中为偶函数的是xxxx22(A)∫tft(()+f())−tdt,(B)∫tft(()−f())−tdt,(C)∫ftdt(),(D)∫f()tdt,0000例3．设函数fx()为可导的奇函数，则下列函数中为奇函数的是xxx(A)sinfx′(),(B)∫ft()sintdt,(C)∫f(sin)tdt,(D)∫(sint+ftdt()),0002练习1：判断函数ln(x+1+x)的奇偶性。（奇函数）−x⎧12,−x≥0练习2：判断函数fx()=⎨的奇偶性。（奇函数
4、）x⎩2−1,x<02．有界性设函数fx()在某区间X上有定义，如果存在一个正数M，使得对∀∈xX，都有
5、()
6、fx≤M，则称fx()为有界函数，否则称为无界的。例4．判断下列函数在给定的区间上是否有界：1．y=cot,(0,)xπ；2．y=xsin,[0,x+∞)；−1/2−1/23．fx()=xsinx,(0,1)。3．复合函数2⎧2−x,x≤0⎧x,x<0例5．设gx()=⎨，fx()=⎨。求gfx(())。⎩x+2,x>0⎩−x,x≥022x练习1：设fx(−1)=ln，且f(())ϕx=lnx。求ϕ()xdx。2∫x−2二、极限的求法数列极限的定义：设{}a为一数列，如果存在一个确
7、定的常数a，使得对任意给定的nε>0，总存在自然数N()ε，当n>N时，不等式2
8、a−a
9、<εn都成立。则称数列{}a的极限存在，并称常数a为数列{}a的极限，记为lima=a。nnnn→∞注意：1。lima=∞是一种记号，并不表示数列{}a的极限存在。nnn→∞2．若数列{}a的极限存在，则极限必唯一，且{}a为有界数列。nn1、单调有界数列必有极限例6．设x=2,x=2+xn,=1,2,⋯。证明limx存在，并求此极限。1n+1nnn→∞2例7．设010、并求此极限。1n+1n4n→∞练习3．设c>0,x=cx,=c+xn,=1,2,⋯。证明limx存在，并求此极限。1n+1nnn→∞2、两边夹原则1nx例8．lim∫dxn→∞1+x02(n+1)1例9.求lim∑。n→∞2kk=nnk例10.求lim∑(1+−1)n→∞n2k=11nnn练习4.lim(12++3)；n→∞1n2nn练习5．lim(1+x+(x/2)),(x>0)；n→∞31n3xsinx练习6．limdx∫3n→∞1sin+x03、无穷小的比较定义：如果函数fx()当x→x（或x→∞）时的极限为零，那么函数fx()叫做x→x00（或x→∞）时的无穷小。如果lim()fx=
11、A，那么fx()−A为无穷小（x→x）。0x→x0注：有界函数与无穷小的乘积为无穷小；有限个无穷小的和为无穷小。无穷小的比较设α()x与β()x均为无穷小，β如果lim=0，则称β()x是比α()x高阶的无穷小，记作β=�()α；αβ如果lim=∞，则称β()x是比α()x低阶的无穷小；αβ如果lim=≠c0，则称β()x与α()x是同阶的无穷小；αβ如果lim=1，则称β()x与α()x是等价的无穷小，记作
