考研数学高分基础班讲义-高数

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1、高等数学部分第一讲极限与连续一、极限（一）基本概念定义1函数的初等特性（1）单调性（2）有界性（3）奇偶性例题1研究函数的奇偶性，并求其反函数。（4）周期性例题2设，讨论其特性。定义2基本初等函数—幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数称基本初等函数。定义3初等函数—由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而成的一个式子称初等函数。定义4极限的概念（1）定义—若对任意的，总存在，当时，有，称为数列的极限，记为。（2）定义—若对任意的，总存在，当时，有，称为函数当时的极限，记为。（3）定义—若

2、对任意的，总存在，当时，有，称为函数当时的极限，记为。（4）左右极限—若对任意的，总存在，当时，有，称为函数在处的左极限，记为。若对任意的，总存在，当时，有，称为函数在处的右极限，记为。【注解】存在的充分必要条件是与都存在且相等。例题3讨论函数在处的极限情况。定义5无穷小—以零为极限的函数称为无穷小。设，若，称为的高阶无穷小，记为；若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为。（二）极限性质1、极限的基本性质（1）（唯一性）极限存在必唯一。（2）（保号性）1）若，则存在，当时，有。2）若，且，

3、则。3）若，且，则。（3）（有界性）若存在，则数列有界。（4）（极限与无穷小的关系）的充要条件是，其中为无穷小。2、极限的存在性质（1）（迫敛定理）1）（数列型）设，且，则。2）（函数型）设，且，则。[例子]求。（2）单调有界的数列必有极限。[例子]证明极限存在并求之。[注解]（1）设数列由确定，令，若，则数列单调，其中当时，数列单调减少；当时，数列单调增加。（2）设单调增加，则有如下两中情况：情形一：数列没有上界，则；情形二：数列有上界，则存在，令，则即为数列的上界，是所有上界中最小的上界。3、运算性质（1）

4、四则运算性质设，则1）；2）；3）；4）。（2）复合运算性质1）设，，则。2）设，，则。4、无穷小的性质（1）无穷小的一般性质1）有限个无穷小之和或之积是无穷小。2）有界函数与无穷小之积是无穷小。3）常数与无穷小之积是无穷小。（2）等价无穷小的性质1）；若，则；若，，则。2）若，，且存在，则。3）设，则的充分必要条件是。（3）当时常用的等价无穷小1）。2）。3）。5、几个重要极限（1）。（2）。（3）。二、连续与间断（一）基本概念1、连续（1）函数在一点连续—若，称在点处连续。[注解]在点处连续的充分必要条件是

5、。（2）函数在闭区间上连续—若函数在内点点连续，且，，称在上连续，记为。[注解]（1）初等函数有定义的地方都连续。（2）若，则。2、间断及分类（1）若都存在且间断，称为的第一类间断点。若，称为函数的可去间断点；若，称为函数的跳跃间断点。（2）若至少有一个不存在，称为函数的第二类间断点。（二）闭区间上连续函数的性质1．（最值定理）设，则在上取到最大值和最小值。2．（有界定理）设，则在上有界。3．（零点定理）设，且，则存在，使得。4．（介值定理）（1）设，且分别为函数在上的最小值与最大值，则对任意的，总存在，使得。

6、（2）设，且，不妨设，则对任意的，总存在，使得。例题部分1、求极限（1）。（2）。2、求下列极限（1）。（2）。（3）。3、求下列极限。4、设，证明数列收敛，并求。5、设，讨论在处的连续性。6、讨论的连续性。7、设，且，证明：在上有界。8、设，证明：对任意的及且，存在，使得。第二讲导数与微分一、基本概念1、导数—设为定义于上的函数，，，若极限存在，称在处可导为在处的导数，记为或。[注解]（1）同时包括与。若存在，称此极限为在点处的左导数，记为，若存在，称此极限为在点处的右导数，记为，在点处可导的充分必要条件是与

7、都存在且相等。（2）函数在处导数的等价定义。（3）若在处可导，则在处连续，反之不对。[反例]，显然在处连续，但在处不可导。（4）取绝对值可保持连续性，不一定保持可导性。问题1设存在，问是否存在？解答：不一定存在，如，取。问题2设存在，问是否存在？2、可微—设为定义于上的函数，，，若，称在处可微，记，或者。问题1函数在处何时可微（或可微的条件）？问题2若函数在处可微，二、求导数三大工具（一）基本公式1、。2、，特别地。3、，特别地。4、，特别地。5、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。

8、6、（1）；（2）；（3）；（4）。（二）求导四则运算法则1、。2、。3、。4、；5、。（三）复合函数求导链式运算设，都是可导函数，则可导，且。[注解]（1）原函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关系设为二阶可导函数，且，为的反函数，则，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系，。（2）设在处连续，若，则。（3）设是周期可导函数，则也是周期函数；若为奇函数，则是偶函数；若为偶函数，则是奇