2015考研数学基础班习题讲义(高数).pdf

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1、第一讲函数极限连续性1,x1x1.设fx0,x1，gx()e，求fgx()和gfx()1,x1n12.设a0，r1，求lim(aarar).n3.求下列数列的极限n1n32(1)lim(2)lim(n3nnn)n1nn23nnk352n1(3)lim2(4)lim222222nk1nnkn1223n(n1)4.设0x3，xx(3x)，证明limx存在，并求其值.1n1nnnn5.设a1,a1a0，证明数列{a}收敛，并求l

2、ima.1n1nnnn6.求下列极限468(2x1)(x1)5x(xx)(2)lim3x2(3x83x1)(1)lim10xx(x2)ln(13x1)xxx(3)lim(4)limcoscoscosnx1arcsin23x21n24211tanxx3x1x(6)lim()(5)limxx1x01sinx2x2e11xcos2x(7)lim(8)limx0xln(12x)x0x(ex1)nxsin2x2ecosx7.设f(x)lim，求limf(x).nxnxex02

3、8.设lim(xaxbcxd)0，求a,b,c,d.x2,x0,x229.设fx4x,0x2，求出fx()的间断点，并指出是哪一类间断点，若可去，4,x2则补充定义，使其在该点连续.11exarctan1x10.设f(x)lim，求f(x)的间断点并判定类型.2nxnxex11.验证方程x21至少有一个小于1的根.1第二讲导数与微分sinx,x01.已知fx，求fx().x,x02.求下列函数的导数：4532ln3x(1)yx15是(12)y3xx2ln5x(2)y3x

4、34x5e2x(13)yln(cosxtanx)(3)y3cotxcscx5(14)y23ln3x(4)ysinxcosx(15)ye2x(x34x5)3(5)yxlnxetet(16)yxetet(6)2esinx2lnxx3(7)y(17)yarctan23xx4x35e(18)ycosxsin(x)(8)yln53x2x3(19)ylntan(9)yxlnxsinx32cosx4x23x(10)y(20)y3sinx1x522(11)yln(xax)f(x)3.设f

5、(x)在x2处可导，且lim2，则f(2)，f(2).2x2x41f(x)fx()4.设f(x)二阶连续可导，且lim0,f(0)4，则lim[1]x.x0xx0x5.设fx()对任意的实数x，x有fx(x)fxfx()()，且f(0)1，试证：fx()fx().121212f(2x)f(2x)6.设f(x)连续可导，f(2)1，且lim1，则曲线yf(x)在点(2,f(2))x0x的切线方程为.7.已知曲线的极坐标方程r1cos，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程.68.设f(x)为

6、周期是5的连续函数，在x0邻域内，恒有f(1sin)3(1sin)xfx8x()x，(x)其中lim0，f(x)在x1处可导，求曲线yf(x)在点(6,f(6))处的切线方程.x0x2xy9.设函数yyx()由方程xyee0所确定，则y'0.2xt2tdy10.若fx()，则.yln1tdxt0xarctan2tdy11.设，则.y2yeln(et)dxx0212.若f(x)是可导函数，且fxsinsinx1，f(0)4，则f(x)的反函数x()y当自变量

7、取4时的导数值为.13.若f(x)可导，yfffx()，则y.yxdy14.设yy(x)由方程xy所确定，求.dx1c15.设f(x)满足afx()bf，其中a、b、c都是常数，且ab,xx(1)证明f(x)fx();(2)求fx()，f()x.3第三讲微分中值定理及导数的应用1.设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)f(1)f(2)3，f(3)1.试证：必存在(0,3)，使f()0.12.设f(x)在[0,1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)f(1)0，f()1，

8、试证：21(1)存在